Appliquer deux fois la probabilité conditionnelle

Question

Par la loi de la probabilité totale, je sais que $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$. En appliquant la même logique, je voudrais dire que$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ Cependant, je sais que cette conclusion est incorrecte car lorsque vous augmentez les probabilités, le LHS ne correspond pas au RHS.

Comment pourrais-je développer correctement $P(A|B)$ en conditionnant sur un autre événement, disons $C$?

Answer 1

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$