Approximation d'une double somme par une double intégrale
En relation avec cette question , je souhaite délimiter par le haut la somme suivante$$ S:=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}}, $$ ce que j'espère faire en le reliant à l'intégrale $$ I:=\int_0^\infty \int_0^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}} dx\,dy. $$
Les réponses aux questions précédentes ont confirmé mon espoir que $I = O\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right)$, l'intuition pour laquelle est probablement que la fonction se comporte approximativement comme un gaussien autour de son maximum à $(x_0,y_0) = \left(i \sqrt{\frac{m}{i+j}},j \sqrt{\frac{m}{i+j}} \right)$, où la fonction prend la valeur $\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)$.
Cependant, j'ai été incapable de montrer que la différence $|I-S|$est significativement plus petit que cette limite. Pour les intégrales unidimensionnelles simples, par exemple avec un maximum unique, il n'est pas trop difficile de limiter cette différence en termes de maximum en considérant des sommes télescopiques appropriées. Cependant, un analogue naïf de cet argument ne semble pas fonctionner en deux dimensions, et essayer d'appliquer cet argument à chaque «tranche» de l'intégrale a conduit à des calculs assez horribles. J'ai également envisagé d'utiliser la formule Euler-Maclaurin, mais cela sort un peu de mon domaine d'expertise.
Je soupçonne qu'il devrait y avoir une manière relativement standard d'approximer $|I-S|$, et je ne serais pas non plus surpris que quelqu'un plus compétent en informatique puisse obtenir un CAS pour fournir une preuve. Le premier serait plus utile, juste pour que je dispose d'un outil pour aborder des questions similaires.
Alors, très explicitement, j'aimerais savoir si $$ |I-S| = o\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right), $$où même big-O serait suffisant pour l'application que j'ai en tête, et je ne serais pas surpris si la différence est même limitée par un multiple du maximum de la fonction. Je m'intéresse aux asymptotiques pour$i$ et $j$ tendant vers l'infini, $m$ peut être fixe ou également fonction de $i$ et $j$. Pour l'application que j'ai en tête, il serait probablement suffisant d'avoir un tel résultat pour$i = (1+o(1))j$ et $m = o(i)$.
Réponses
Je ne peux pas fournir une réponse réelle, mais seulement quelques considérations et indices qui, espérons-le, pourraient être utiles.
La fonction $$ f(x,y) = \left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} $$ ayant une forme de cloche (coupée) dans le premier quadrant, signifie qu'il est concave autour du maximum et convexe plus loin.
Cela rend assez difficile de relier l'intégrale à la somme de Riemann avec un $>, <$, parce que le signe de l'inégalité change dans les deux domaines.
De plus, en augmentant $i, \, j$, tandis que la position du mouvement max $\approx \sqrt{i}$, et donc approximativement sa propagation le pic de cloche augmente $\approx i^{m/2}$.
Depuis le$\Delta x , \, \Delta y$ de la somme sont fixés à $1$, Je doute que la somme puisse converger vers l'intégrale.
Concernant l'intégrale, j'essaierais l'approche suivante $$ \eqalign{ & I = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {\left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} dxdy} } = \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ s = x + y \hfill \cr t = x - y \hfill \cr} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \matrix{ x = \left( {s + t} \right)/2 \hfill \cr y = \left( {s - t} \right)/2 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } = \cr & = \int_{s\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{t\, = \, - s}^{\,s} {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } \cr} $$ alors considérez aussi que $$ \eqalign{ & - \,\left( {{{s^{\,2} + t^{\,2} + 2st} \over {2\,i}}\, + {{s^{\,2} + t^{\,2} - 2st} \over {2\,j}}} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}} \left( {{t \over s}} \right) + 1} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2i\,j}}\left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}}\left( {{t \over s}} \right) + \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {\left( {{t \over s}} \right) - {{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) \cr} $$ on peut à nouveau changer les variables $$ \left\{ \matrix{ s = s \hfill \cr r = t/s \hfill \cr} \right.\quad J = \left| {\left( {\matrix{ 1 & 0 \cr { - t/s^{\,2} } & {1/s} \cr } } \right)} \right| = {1 \over s} $$ puis procédez à une approximation ou à une extension en série de la fonction d'erreur.