Bi-annihilateur d'un sous-espace du dual d'un espace vectoriel de dimension infinie

Question

Laisser$V$être un espace vectoriel de dimension infinie et$V^*$son double.
Pour un sous-espace linéaire$W\subset V$définir$W^ \circ\subset V^*$comme le sous-espace des formes linéaires sur$V$disparaître sur$W$.
Doublement, pour$\Gamma\subset V^*$définir$\Gamma^\diamond \subset V$comme l'ensemble des vecteurs$v\in V$tel que$\gamma(v)=0$pour toutes les formes linéaires$\gamma\in \Gamma$.
Il est légèrement surprenant mais pas trop difficile de montrer que nous avons pour tous les sous-espaces$W\subset V$l'égalité$(W^\circ) ^\diamond=W$.
Mais est-il vrai que pour tous$\Gamma\subset V^*$Nous avons$(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
Et y a-t-il une référence (article, livre, notes de cours,...) où ce problème est mentionné ?

Answer 1

Non,$(\Gamma^\diamond)^\circ$pas toujours égal$\Gamma$. Laisser$\mathcal B$être une base pour$V$, et laissez$\Gamma$être l'étendue de l'ensemble 'dual'$\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, alors$e_b(c)$est le support d'Iverson $[b = c]$pour tous$b, c \in \mathcal B$. Alors$\Gamma^\diamond$est$0$, alors$(\Gamma^\diamond)^\circ$est tout de$V^*$; mais$\Gamma$lui-même ne contient pas, par exemple, l'élément$\sum_{b \in \mathcal B} e_b$de$V^*$.

Answer 2

L'égalité est fausse en général.
Voici un contre-exemple : fixer une base$v_i, i\in I$de$V$et considérons l'ensemble des formes linéaires coordonnées$v^*_i, i\in I$.
Ces formes sont linéairement indépendantes mais ne forment jamais une base puisque$V$est de dimension infinie.
Alors remplissez ces formulaires à la base$(v^*_j), j\in J$avec$J\setminus I\neq\emptyset$.
Choisir$l\in J\setminus I$et met$J'=J\setminus \{l\}$
Si vous définissez$\Gamma \subset V^*$comme l'espace vectoriel généré par le$v_j^*, j\in J'$, alors$\Gamma^\diamond =0$(puisque déjà le sous-espace de$V^*$généré par la$v_i^*, i\in I$tuer tous les vecteurs dans$V$) pour que$\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$donnant le contre-exemple recherché.