Calcul d'une intégrale à 2 variables - commutation de l'ordre d'intégration

Question

Je dois calculer cette intégrale:

$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$

Parce que nous n'avons pas appris à calculer $\int e^{a}{x} dx$ (car il a quelque chose avec la fonction gamma etc.) cela me fait penser à une seule option et c'est de retourner le $dx \Leftrightarrow dy$

$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$

Et ainsi $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$

Ce qui m'amène à nouveau à cette fonction gamma. ($\Gamma$...) et nous ne savons pas comment travailler avec (pas dans notre syllabus)

Toute aide serait appréciée!! Merci!

Answer 1

Vous avez eu raison d'intervertir l'ordre d'intégration.

Notez que la région d'intégration s'étend de $\sqrt y\le x\le 1$ avec $y\in [0,1]$. C'est la même région que la région$0\le y\le x^2$ avec $x\in [0,1]$. Par conséquent, nous avons

$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$

Et maintenant, vous pouvez conclure cela.