Calcul du foncteur dérivé pour un module simple

Question

Envisager$M =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$comme un$R = \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$module. j'essaie de calculer quoi$Ext_{R}^n(M,M)$est pour tous$M$. A cette fin, je laisse

$$\cdots \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{projection}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow 0$$

être une résolution libre (et donc projective). Calculer$Ext_{R}^n(M,M)$, je prends maintenant les groupes d'homologie de$$0 \rightarrow \text{Hom}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3} \cdots.$$Depuis$\text{Hom}(R,M) \cong M$, ce qui précède n'est que la chaîne$$0\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3} \cdots$$de sorte que les noyaux soient tous$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$et les images sont juste$0$pour que$Ext_R^N(M,M) = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$pour tous$n$. Est-ce correct, ai-je fait une erreur mineure ou ai-je fondamentalement mal compris quelque chose d'important ? (Ou les deux!)

Answer 1

Vous avez fait une erreur mineure : notez que si vous avez un bon foncteur exact$F$, et vous voulez calculer$L_*F(X)$, vous prenez une résolution projective$P_*\to X$puis prendre l'homologie de$F(P_*)$, pas l'homologie de$F(P_*\to X)$.

Donc, votre erreur mineure est de dire que vous recherchez les groupes d'homologie de$\hom(\mathbb Z/3,\mathbb Z/3)\to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \dots$

(notez d'ailleurs que la première carte serait identifiée avec l'identité$\mathbb Z/3\to\mathbb Z/3$, pas avec$\times 3$, car c'est le dual de la projection$\mathbb Z/9\to\mathbb Z/3$)

Le complexe de chaînes dont vous recherchez l'homologie n'a que$\hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3)$est dedans. Cependant, cela vous donne le résultat que vous dites.