Cette variété décrit-elle les monoïdes gauches?

Question

Dans cette question, j'ai défini la variété suivante.

Laisser $(S, \cdot, e)$ être tel que $(S, \cdot)$ est un semi-groupe, $e$ est une opération binaire, et laissez les identités $e(x, y)x \approx x$, $e(x, y)\approx e(y, x)$prise. Appelons une structure qui satisfait celles-ci un double monoïde gauche, ou dlm.

On peut voir que si $(S, \cdot)$ est un monoïde gauche avec une identité gauche $f$, puis définissant $e(x, y)\equiv f$ nous obtenons un dlm.

Si $(S, \cdot, e)$, en tant que semi-groupe, n'est pas un monoïde gauche, alors ce ne peut pas être un monoïde droit. Clairement, si$f$ étaient la bonne identité, alors $e(x, f)f = f = e(x, f)$ pour tous $x$, et donc $fx = x$ pour tous $x$, donc ce serait un monoïde.

Tout dlm est-il nécessairement un monoïde gauche après la transformation $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$ qui oublie l'opération $e$?

Answer 1

La réponse est non, comme le montre le semi-groupe $(\Bbb{Z}, \min)$ avec $e(x,y) = \max(x,y)$.