Classification améliorée des groupes de Lie compacts
Cette question fait suite à la classification des groupes de Lie compacts (pas nécessairement liés) . Dans la réponse à cette question, @LSpice a prouvé que tout groupe de Lie compact, pas nécessairement connecté$G$ prend la forme $$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$ où $G_0$ est la composante identitaire de $G$, $R$ est un groupe fini, et $P$ est un sous-groupe fini et commun de $G_0$ et $R$ qui est central à l'intérieur $G_0$ (mais n'a pas besoin d'être central dans $R$).
Néanmoins, il existe de nombreuses possibilités pour le produit semi-direct. Pour restreindre la liste, il serait pratique de séparer les éléments de$R$ qui agissent par des automorphismes extérieurs non triviaux sur $G_0$ et modifiez le reste pour qu'ils naviguent avec $G_0$.
MISE À JOUR: mon hypothèse d'origine (ci-dessous) est fausse. Une version plus faible, peut - être correcte, est:
Hypothèse: $R$ et $P$ peut être choisi ci-dessus de telle sorte que chaque élément de $R$ soit (1) agit par un automorphisme externe non trivial sur $G_0$ ou (2) agit de manière triviale sur $G_0$.
MISE À JOUR 2: @LSpice l'a prouvé dans la réponse mise à jour à Classification des groupes de Lie compacts (pas nécessairement connectés) . Une reformulation concise de la preuve est donnée dans ma réponse ci-dessous.
Par comparaison, c'est faux:
Hypothèse: tout groupe de Lie compact $G$ peut être écrit sous la forme $$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$ où $H, R, P$ sont des groupes finis et des éléments non triviaux de $R$ agir par automorphismes externes non triviaux sur $G_0$.
Contre-exemple: considérer $G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$, où le générateur $r$ de $\mathbb{Z}_4$ agit par l'automorphisme externe de `` conjugaison de charge '' $r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$ au $U(1)$. Dans toute extension finie$G'$ de ce groupe, des éléments de $\pi_0(G)$ que l'acte par conjugaison de charge ne correspondra jamais à l'identité en $G'$, donc $G'$ ne prend jamais le nécessaire $(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$ forme avec $\mathbb{Z}_2$ agissant sur $U(1)$ par conjugaison de charge.
Réponses
@LSpice a déjà prouvé ma conjecture révisée dans la réponse mise à jour à Classification des groupes de Lie compacts (pas nécessairement connectés) , mais permettez-moi de donner une autre preuve étroitement liée.
Depuis $1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$se divise toujours, voir Aut (G) → Out (G) se divise- t - il toujours pour un groupe de Lie G compact et connecté? , nous pouvons choisir un sous-groupe$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$ pour lesquels la restriction de $\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$est un isomorphisme. L'image inverse de$R_0$ sous la carte $f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$ induit par conjugaison est un sous-groupe $K \subseteq G$ dont l'intersection avec $G_0$ est $Z(G_0)$.
Multiplier tout $g\in G$ par arbitraire $h \in G_0$ multiplie les associés $f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$ par un automorphisme interne arbitraire $f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$, sans changer $g$composant connecté de. Ainsi,$K$ rencontre tous les composants connectés de $G$.
En utilisant le résultat de Dans n'importe quel groupe de Lie avec un nombre fini de composants connectés, existe-t-il un sous-groupe fini qui rencontre chaque composant? ,$K$ a un sous-groupe fini $R$ qui répond à tous les composants de $K$, par conséquent, il rencontre tous les composants de $G$ aussi, et intersecte $G_0$ dans $Z(G_0)$. De par leur conception, les éléments de$R$ soit agir par automorphismes externes non triviaux sur $G_0$ ou ils agissent trivialement sur $G_0$. Cela prouve ma conjecture (révisée).
COMMENTAIRE AJOUTÉ: Une généralisation intéressante, mais fausse, est énoncée et réfutée ci-dessous.
Il est bien connu que tout groupe de Lie compact et connecté$G_0$ prend la forme $$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$ où $T^k$ désigne un $k$-torus, $G_1, \ldots, G_\ell$ sont des groupes de Lie compacts, simplement connectés et simples, et $P$est central. On pourrait penser que les quotients dans les expressions pour$G$ et $G_0$ pourrait être combiné, de sorte que tout groupe de Lie compact $G$ prendrait la forme: $$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$ où comme avant chaque élément de $R$ agit par un extérieur non trivial ou agit de manière triviale sur $T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$. Cependant, c'est faux .
Contre-exemple: considérez $G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$, où le générateur $r \in \mathbb{Z}_4$ agit par parité sur $\mathrm{SO}(2k)$ et $r^2 = -1 \in SO(2k)$. Maintenant, laisse$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$ être une couverture de $G$ dont le composant connecté est $G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$. Il y a un élément$r'$ de $R$ qui projette de $r$, Par conséquent $r’$ agit sur $\mathrm{Spin}(2k)$par parité. Si$k$ est étrange, alors $Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$, et $(r’)^2$ doit être l'un des deux éléments d'ordre 4 dans $Z(G_0')$ se projeter sur $(r)^2 = -1$. Cependant, la parité échange ces deux éléments, on trouve donc$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$, ce qui est une contradiction. Le cas de même$k$ est très similaire.