Classification des collecteurs lisses compacts de dimension 3.

Jan 04 2021

Je connais la classification des collecteurs lisses compacts de dimension 2. Ils sont difféomorphes à une sphère à n "oreilles" (somme connectée de n tori) ou à une sphère à m bandes mobius (somme connectée de m plans projectifs réels). Je sais seulement que l'hypothèse géométrique prouvée par Perelman dit quelque chose à propos de 3 variétés, mais je ne peux pas trouver de classification précise similaire à celle ci-dessus pour les variétés lisses compactes de dimension 2. Y a-t-il une classification similaire simple? SI Oui, pourriez-vous laisser un lien vers celui-ci ou l'écrire en commentaire?

Réponses

3 MichaelAlbanese Jan 04 2021 at 21:41

Une variété est appelée prime si chaque fois qu'elle est homéomorphe à une somme connexe, l'un des deux sommets est homéomorphe à une sphère.

En dimension deux, les variétés primaires fermées sont $S^2$, $\mathbb{RP}^2$, et $S^1\times S^1$. Par la classification des surfaces, chaque variété bidimensionnelle fermée est homéomorphe à une somme connexe de variétés premières. Dans le cas orientable, les sommets connectés sont uniques jusqu'à$S^2$ summands (vous pouvez toujours connecter la somme avec $S^2$sans rien changer). Dans le cas non orientable, nous n'avons plus l'unicité comme$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ est homéomorphe à $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$. Cependant, on peut retrouver l'unicité (jusqu'aux sommets sphériques) si l'on interdit l'utilisation de$S^1\times S^1$ sommations.

Il y a une histoire similaire pour les trois variétés fermées. Le théorème de décomposition premier pour trois variétés stipule que chaque variété trois fermée est homéomorphe à une somme connexe de variétés premières. Si le boîtier orientable, les sommets connectés sont uniques jusqu'à$S^3$sommations. Si$M$ n'est pas orientable, alors l'unicité ne tient plus, cependant on peut retrouver l'unicité en interdisant l'utilisation de $S^2\times S^1$ comme l'un des sommets connectés.

La principale différence entre les dimensions deux et trois est qu'il existe une infinité de trois variétés principales. Dans le cas orientable, ils entrent dans trois catégories:

  1. ces variétés couvertes par $S^3$,
  2. le collecteur $S^2\times S^1$, et
  3. collecteurs asphériques orientables.

Ces catégories peuvent également être caractérisées via le groupe fondamental: à savoir respectivement fini, cyclique infini et non cyclique infini.

Dans le cas non orientable cependant, il y a trop de variétés premières pour admettre une classification; voir la réponse à ma question .

En dimension quatre, nous n'avons plus d'unicité, même dans le cas orientable. Par exemple,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ est homéomorphe à $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$. Notez la similitude avec le fait que$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ est homéomorphe à $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$.