Classification des groupes de Lie compacts (pas nécessairement connectés)

Question

Je recherche une classification de groupes de Lie compacts (pas nécessairement connectés). Il est clair que tous ces groupes sont des extensions d’un «groupe de composants» fini$\pi_0(G)$ par un groupe de Lie connecté compact $G_0$: $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> G_0 @ >>> G @> p >> \ pi_0 (G) @ >>> 0 \ end {CD} La classification des groupes de Lie compacts connectés m'est familière, donc mon La question est de savoir comment classer ces extensions.

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MISE À JOUR: Je soupçonne que ce qui suit est vrai (en raison de @LSpice, avec mon exigence supplémentaire que $H$, $P$ sont finis):

Hypothèse :$G$ peut toujours être écrit comme $$ G= \frac{G_0 \rtimes H}{P} $$ pour les groupes finis $H,P$, où $P \subseteq Z(G_0 \rtimes H)$.

MISE À JOUR 2: @LSpice l'a prouvé ci-dessous pour l'exigence la plus faible qui$P$ intersecte $G_0$ dans $Z(G_0)$, et a fourni un contre-exemple où $P$ ne peut pas être considéré comme central.

MISE À JOUR 3: Voir Classification améliorée des groupes de Lie compacts pour une question de suivi (que je n'écrirai pas ici pour éviter un encombrement excessif.)

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Une affirmation moins utile de ma question initiale: une telle $G$ peut être construit à partir de $G_0$ en trois étapes:

1. Prenez le produit direct de $G_0$ avec un groupe fini.

2. Quotient le résultat par un sous-groupe fini de son centre.

3. Étendre un sous-groupe fini de $\mathrm{Out}(G_0)$ par le résultat.

(L'étape 3 peut toujours ne pas être un produit semi-direct en général.)

Answer 1

$\DeclareMathOperator\U{U}$Considérez les matrices $u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ && 0 & 1 \\ && 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $v = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ & 0 && 1 \\ -1 && 0 \\ & -1 && 0 \end{pmatrix}$. Celles-ci appartiennent au groupe fini des matrices de permutation signées, de sorte que le groupe qu'elles génèrent est fini. Mettre$G_0 = \left\{d(z, w) \mathrel{:=} \begin{pmatrix} z \\ & z^{-1} \\ && w \\ &&& w^{-1} \end{pmatrix} \mathrel: z, w \in \U(1)\right\}$. Depuis$u d(z, w)u^{-1} = d(z^{-1}, w^{-1})$ et $v d(z, w)v^{-1} = d(w, z)$, le groupe $G$ généré par $G_0$, $u$, et $v$ possède $G_0$comme sa composante d'identité. Maintenant, laisse$G_0 \rtimes H \to G$ être une couverture restreignant à l'inclusion $G_0 \to G$, et laissez $\tilde u$ être un élément de $H$ dont l'image se trouve dans $u G_0$; dis que l'image est$u d(z, w)$. Puis$\tilde u^2$ correspond à $(u d(z, w))^2 = u^2 = d(-1, 1)$, donc $d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2$ réside dans $\ker(G_0 \rtimes H \to G)$. Si$\tilde v$ est un élément de $H$ dont l'image se trouve dans $v G_0$, ensuite $\tilde v(d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2)\tilde v^{-1}$ réside dans $d(1, -1) \rtimes H$, donc n'égale pas $d(-1, 1) \rtimes H$. C'est-à-dire,$\ker(G_0 \rtimes H \to G)$ n'est pas central dans $G_0 \rtimes H$.

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Ce que nous pouvons faire est de trouver (en général, pas seulement pour l'exemple spécifique ci-dessus) un sous-groupe fini $H$ de $G$ telle que la carte de multiplication $G^\circ \times H \to G$ est surjectif, et son noyau centralise $G^\circ$. (Dans l'exemple spécifique ci-dessus, nous pourrions prendre$H = \langle u, v\rangle$.)

$\DeclareMathOperator\Ad{Ad}\DeclareMathOperator\Gal{Gal}\DeclareMathOperator\Norm{Norm}\DeclareMathOperator\Weyl{W}\DeclareMathOperator\Zent{Z}\newcommand\C{{\mathbb C}}\newcommand\R{\mathbb R}\newcommand\adform{_\text{ad}}\newcommand\scform{_\text{sc}}\newcommand\X{\mathcal X}$Pour le prouver, j'utiliserai quelques éléments de la théorie des structures:

1. Tous les tores maximaux dans $G$ sont $G^\circ$-conjuguer.
2. Tous les sous-groupes Borel de $G_\C$ sont $G^\circ_\C$-conjuguer.
3. Pour chaque tore maximal $T$ dans $G$, la carte $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ est un isomorphisme.
4. Si $G\scform$ et $(G_\C)\scform$ sont les couvertures simplement connectées des groupes dérivés de $G^\circ$ et $G^\circ_\C$, ensuite $(G\scform)_\C$ équivaut à $(G_\C)\scform$.
5. Chaque groupe de Lie compact a un sous-groupe fini qui répond à chaque composant .

Il me suffit de (4) prouver que, pour chaque tore maximal $T$ dans $G$, la carte de $T$ à l'ensemble des éléments fixés par conjugaison de $T/\Zent(G^\circ)$est surjectif. C'est probablement un fait bien connu en soi pour les théoriciens des groupes réels.

Considérons maintenant les triples $(T, B_\C, \X)$ comme suit: $T$ est un tore maximal dans $G$; $B_\C$ est un sous-groupe de Borel de $G^\circ_\C$ contenant $T_\C$, avec un ensemble résultant de racines simples $\Delta(B_\C, T_\C)$; et$\X$ est un ensemble constitué d'un rayon réel dans chaque espace racine simple complexe (c'est-à-dire l'ensemble des multiples réels positifs de certains non-$0$vecteur). (Désolé pour la paire de modificateurs "complexe simple".) J'appellerai ces "épinglages", bien que cela ne soit pas d'accord avec la terminologie habituelle (où nous choisissons des vecteurs racines individuels, pas des rayons). Je prétends que$G^\circ/\Zent(G^\circ)$ agit simplement de manière transitoire sur l'ensemble des épinglages.

Une fois que nous avons la transitivité, la liberté est claire: si $g \in G^\circ$ stabilise une paire $(T, B_\C)$, alors il se trouve dans $T$, et stabilise ainsi chaque espace racinaire complexe; mais alors, pour qu'il stabilise certains choix de rayons$\X$, il doit avoir la propriété $\alpha(g)$ est positif et réel pour chaque racine simple $\alpha$; mais aussi$\alpha(g)$ est une norme$1$ nombre complexe, donc trivial, pour chaque racine simple $\alpha$, donc pour chaque racine $\alpha$, de sorte que $g$ est central.

Pour la transitivité, puisque (1) tous les tores maximaux dans $G$ sont $G^\circ$-conjugate, donc (2) pour chaque tore maximal $T$ dans $G$, le groupe Weyl $\Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ agit de manière transitoire sur les sous-groupes Borel de $G^\circ_\C$ contenant $T_\C$, et (3) $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ est un isomorphisme, il suffit de montrer que tous les ensembles possibles $\X$sont conjugués. Voici l'argument que j'ai trouvé pour montrer qu'ils sont égaux$T$-conjuguer; Je pense que cela peut probablement être rendu beaucoup moins gênant. Réparer une simple racine$\alpha$, et deux non-$0$ éléments $X_\alpha$ et $X'_\alpha$de l'espace racine correspondant. Ensuite, il y a un nombre réel positif$r$ et une norme$1$ nombre complexe $z$ tel que $X'_\alpha = r z X_\alpha$. Choisissez une norme$1$ nombre complexe $w$ tel que $w^2 = z$. Il y a alors un élément unique$s\adform$ de $T_\C/\Zent(G^\circ_\C)$ tel que $\alpha(s\adform) = w$, et $\beta(s\adform) = 1$ pour toutes les racines simples $\beta \ne \alpha$. Par (4), nous pouvons choisir un ascenseur$s\scform$ de $s\adform$ à $(G\scform)_\C = (G_\C)\scform$, qui réside nécessairement dans la préimage $(T_\C)\scform$ de (l'intersection avec le sous-groupe dérivé de) $T$, et met $t\scform = s\scform\cdot\overline{s\scform}$. Puis$$ \alpha(t\scform) = \alpha(s\scform)\overline{\overline\alpha(s\scform)} = \alpha(s\scform)\overline{\alpha(s\scform)^{-1}} = w\cdot\overline{w^{-1}} = z, $$ et, de même, $\beta(t\scform) = 1$ pour toutes les racines simples $\beta \ne \alpha$. Maintenant l'image$t$ de $t\scform$ dans $G^\circ_\C$ réside dans $T_\C$ et est fixé par conjugaison, donc réside dans $T$; et$\Ad(t)X_\alpha = z X_\alpha$ se trouve sur le rayon à travers $X'_\alpha$.

Depuis $G$ agit également sur l'ensemble des épinglages, nous avons une carte bien définie $p : G \to G^\circ/\Zent(G^\circ)$ qui se limite à la projection naturelle sur $G^\circ$. À présent$\ker(p)$ rencontre tous les composants, mais il contient $\Zent(G^\circ)$, il n'est donc pas nécessaire qu'il soit fini. Appliquer (5) au groupe Lie$\ker(p)$ donne le sous-groupe souhaité $H$. Notez que, comme demandé dans votre classification améliorée , la conjugaison par tout élément de$H$ corrige un épinglage, par conséquent, s'il est interne, doit être trivial.