Codimension deux feuilletages avec des surfaces transversales

Question

Supposons que j'en ai fermé$4$-collecteur$X$et un feuilletage de codimension deux$\mathcal{F}$, ainsi qu'une surface fermée$\Sigma$d'auto-intersection non négative qui est partout transverse à$\mathcal{F}$.

Alors quel genre de restrictions y a-t-il sur la foliation$\mathcal{F}$? Cette question donne quelques réponses dans le cas où$X$est une surface complexe et$\mathcal{F}$est holomorphe, mais je suis plus intéressé par ce qui se passe dans le cas réel.

Answer 1

Dans ce cas réel, il y a peu de restrictions. En effet, choisissez$\Sigma\subset X$tel que$X$admet un champ lisse à 2 plans$\xi$(pas nécessairement intégrable) transverse à$\Sigma$. Ensuite, il est facile de perturber légèrement$\xi$pour le rendre intégrable sur un petit quartier de$\Sigma$. Puis, par un théorème de Thurston (Commentarii 1974),$\xi$, étant de dimension réelle$2$, peut être homotopé rel.$\Sigma$devenir intégrable partout. Vous pouvez même commencer par étendre$\xi$à une foliation partielle de votre choix sur n'importe quel sous-ensemble régulier de$X$. Alors, les possibilités sont énormes.