Cohomologie de Bredon d'une action de permutation sur $S^3$
J'ai vu quelques questions similaires demandant de vérifier les calculs de la cohomologie de Bredon ici et ici , je vais donc poser une de ces questions moi-même.
Laisser $\mathbb{Z}/2$ agir sur $S^3\subset \mathbb{C}^2$ par restriction d'une action de permutation sur $\mathbb{C}^2.$ Je voulais calculer la cohomologie de Bredon $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$
J'ai une décomposition cellulaire basée sur une décomposition de complexe $1$-disque dimensionnel dans $3$ cellules: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ Ici $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ et $D$ est l'intérieur de $\mathbb{D}.$ Ensuite, nous avons une décomposition de $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ dans des cellules compatibles avec le $\mathbb{Z}/2$ action.
L'ensemble en virgule fixe d'une action est un cercle donné par $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ Depuis la catégorie orbite de $\mathbb{Z}/2$ consiste en $*$ et $\mathbb{Z}/2$ il existe les chaînes équivariantes suivantes: \ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {cellules correspondant à} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ fois D \\ \ hline \ end {array}
Il semble donc que les cochains valorisés dans $\underline{\mathbb{Z}}$ sont:
\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {array} Depuis$(T\times T)^*=0$ dans les cochains, nous avons $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ Différentiel $d_1$ est un isomorphisme puisque $\partial(D\times *)=T\times *.$ Il paraît que $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$
Il m'est un peu étrange que le quotient soit une sphère homologique. Bien sûr, le groupe$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ puisque l'orientation est préservée, mais peut-être en ai-je manqué $2$-torsion à des degrés inférieurs?
Réponses
Votre réponse finale est correcte, mais la structure cellulaire que vous utilisez n'est pas $G$-CW structure: $T\times T$ ne peut pas être utilisé comme une cellule de cette manière.
Je l'aborderais comme ceci: L'action de $G = {\mathbb Z}/2$ sur $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ peut être écrit comme représentation $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, où $G$ agit trivialement sur $\mathbb{C}$ et par négation sur $\mathbb{C}^\sigma$. La sphère$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ est aussi la compactification en un point $S^{1+2\lambda}$, où $\lambda$ désigne la ligne réelle avec $G$agir par négation. Cela a un$G$-CW structure avec
- un $G$-cellule 0 fixe,
- un $G$-fixe 1 cellule,
- un $G$-free 2 cellules, et
- un $G$-free 3 cellules,
pour que les squelettes soient $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$, et $S^{1+2\lambda}$. De là, vous pouvez déterminer que le$\underline{\mathbb{Z}}$-cochain complexe est $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$
Une façon de vérifier que la réponse est correcte est d'écrire $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ puis utilisez le calcul connu du $RO(G)$-cohomologie graduée d'un point (à l'origine due à Stong (non publié), depuis publié à divers endroits).