Combien de trous peut avoir une projection d'une variété algébrique?

Question

Laisser $V$ être une sous-variété fermée de $\mathbf{P}^n$. (Nous travaillons sur un champ algébriquement clos.) Définir$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ par $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, où $P_0$ est le point $(0,0,...,0,*)$ dans $\mathbf{P}^n$.

Si seulement $\pi$ ont été définis dans tous $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ serait une sous-variété fermée de $\mathbf{P}^{n-1}$. Ce n'est pas, et$V$ ne doit pas nécessairement être une sous-variété fermée de $\mathbf{P}^{n-1}$. (Exemple simple:$V:x_0^2 = x_1 x_2$.) Peut-on encore dire que $\pi(V)$ contient $\overline{\pi(V)}\setminus W$, où $W$ est une sous-variété fermée de codimension positive dans $\overline{\pi(V)}$ et degré $\leq \deg(V)$, dire? Comment?

Answer 1

Soufflez pour obtenir un morphisme $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$. Laisser$\widetilde{V}$ être la bonne transformation de $V$ dans $Bl_{P_0}\mathbf P^n$. ensuite$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$.

Maintenant nous pouvons écrire $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ où $C_{P_0}V$ est le cône tangent de $V$ à $P_0$.

Alors $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (qui dans votre notation est $\pi(V)$) contient $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$.

Comme indiqué ci-dessus, $\Pi(\widetilde{V})$ équivaut à $\overline{\pi(V)}$. De plus,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ est un sous-ensemble fermé du diviseur exceptionnel $E$, et $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ est un isomorphisme.

Alors on comprend ça $\pi(V)$ (dans votre notation) contient $\overline{\pi(V)} \setminus W$ où $W \subset \mathbf P^{n-1}$ est un sous-ensemble fermé isomorphe à la projectivisation du cône tangent de $V$ à $P_0$.

L'ensemble fermé $W$ a une dimension $\operatorname{dim}(V)-1$. D'autre part,$\pi(V)$ a la même dimension que $V$ sauf si $V$ est un cône dont le sommet contient $P_0$, mais dans ce cas $\pi(V)$ est un ensemble fermé.

Quant au degré, le degré de $\mathbf P(C_{P_O}V))$en tant que sous - schéma de$E$ égale la multiplicité de $V$ à $P_0$, donc est borné ci-dessus par $\operatorname{deg}(V)$. Depuis$W$est (isomorphe à) le sous-ensemble fermé sous-jacent de ce schéma, son degré n'est pas supérieur à celui du schéma. Nous avons donc$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ comme demandé.