Comment cette définition définit-elle un symbole $P$ en dehors du jeu de symboles $S$ comme un $S$-phrase?

Question

À la p126 au §3. Extensions par définitions dans les interprétations syntaxiques VIII et les formes normales dans la logique mathématique d' Ebbinghaus :$S$ est un jeu de symboles (non logique)

3.1 Définition. Laisser$\Phi$ être un ensemble de $S$-Phrases.

(a) Supposons $P \notin S$ est un $n$-ary relation symbole et $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ un $S$-formule. Alors on dit que$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ est un $S$-Définition de $P$ dans $\Phi$.

• Comment est $ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ une $S$-sentence ou même un $S$-formule?

• $P v_0 ... n_{n-1}$ est sur le côté gauche de $\leftrightarrow$. Cela suppose-t-il$P v_0 ... n_{n-1}$ être un $S$-formule? Mais$P \notin S$, alors comment peut $P v_0 ... n_{n-1}$ être un $S$-formule?

Merci.

Answer 1

Pour économiser un peu d'écriture, laissons $\sigma$ représenter $\forall v_0, \ldots, \forall v_{n-1} (Pv_0, \ldots, v_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, \ldots, v_{n-1}))$.

Vous avez raison $\sigma$ n'est pas un $S$-formule, car $\sigma$ implique le symbole $P$, qui n'est pas dans $S$. D'autre part,$\sigma$ est un $(S \cup \{P\})$-phrase. C'est un peu le point ici:$\sigma$ vous dit que le symbole $P$, qui n'est pas dans $S$, équivaut à un $S$-formule. La terminologie "$S$-définition "fait référence au fait que $\sigma$ définit $P$ en terme de $S$, cela ne veut pas dire que $\sigma$ lui-même est un $S$-phrase.