Comment comprendre l'orbite de taille $1$dans ce cas

Question

Je suis un débutant autodidacte en théorie des groupes, alors s'il vous plaît, supportez cette question qui pourrait avoir des réponses simples. Donné un$p$-grouper$G$pour certains premiers$p$, laisser$H$être un sous-groupe de$G$. Laisser$X$soit l'ensemble de tous les conjugués de$H$.

À présent,$H$agit sur$X$par conjugaison. J'ai lu qu'il y avait au moins$p$orbites de taille$1$dans$X$.

Un exemple d'orbite de taille$1$est$\{H\} \in X$. Cet exemple suit puisque$aHa^{-1}=H$pour toute$a \in H$puisque$H$est un sous-groupe, et nous avons$\text{Orb}(H)=H$.

Mais j'ai lu ça depuis$p$est premier, qu'il y a au moins$p-1$autres orbites de taille$1$. Il devrait donc y avoir une autre orbite$gHg^{-1} \neq H$de taille$1$dans$X$.

Ce que je ne comprends pas, c'est comment$gHg^{-1}$peut être de taille$1$sous l'action de$H$. Cela ne devrait-il pas signifier que$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$et$\text{Orb}(gHg^{-1})$n'est pas nécessairement égal à$gHg^{-1}$. Cependant, il doit avoir une taille$1$, ce qui signifie que$\text{Orb}(gHg^{-1})$devrait en fait être égal à$gHg^{-1}$.

Pour référence, ce résultat provient du théorème 4.6 de Rotman, où aucune condition supplémentaire n'a été imposée à$H$et$G$excepté$H$est un sous-groupe de$p$-grouper$G$... Qu'est-ce que j'oublie ici?

Answer 1

La première chose à noter est que si$|X| = 1$alors nous n'aurons pas$p-1$d'autres orbites, nous devrons donc également supposer$|X| \gt 1$.

Nous utiliserons ces deux propriétés des orbites pour prouver notre affirmation :

1. Les orbites sont disjointes et leur union est l'ensemble complet$X$(cela devrait être facile à voir).

2. La taille de l'orbite divise l'ordre du groupe (cela est prouvé dans le théorème du stabilisateur d'orbite)

Par la propriété (1) on a que$$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$où$\mathcal{O}$est l'ensemble contenant toutes les orbites de l'action. Maintenant nous nous séparons$\mathcal{O}$en deux sous-ensembles disjoints :$\mathcal{O'}$et$\mathcal{O''}$où$\mathcal{O'}$est l'ensemble de toutes les orbites de taille$1$et$\mathcal{O''}$est l'ensemble de toutes les orbites de taille supérieure à$1$. Ça signifie$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$puisque$|Y'| = 1$. Par la propriété (2) on sait que$|Y''|$divise$|X| = p^n$et$|Y''| > 1$ce qui signifie que$|Y''| = p^k$où$k > 1$ce qui signifie$p$divise$|Y''|$. Nous pouvons voir$X$comme une orbite où l'action de groupe est conjugaison par le groupe$G$. Cela signifie que$|X|$divise$|G| = p^n$. Depuis$|X| > 1$on a ça$p$divise$|X|$. Depuis$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$,$p$doit aussi diviser$|\mathcal{O'}|$ce qui signifie$|\mathcal{O'}| = pm$pour certains$m \gt 1$ce qui signifie$|\mathcal{O'}| \geq p$c'est ce que nous essayons de prouver.