Comment étudier pour apprendre la géométrie différentielle pour l'appliquer aux statistiques
Fondamentalement, je veux apprendre la géométrie de l'information ou plus précisément l'application de la géométrie différentielle dans les statistiques pour réaliser un projet. Je suis issu d'une formation statistique et j'ai des connaissances en analyse réelle, calcul à plusieurs variables, algèbre linéaire. Un de mes professeurs m'a dit que les trois premiers chapitres de la Géométrie différentielle de Do Carmo suffiraient. Quelqu'un peut-il m'assurer si cela suffit ou dois-je apprendre la géométrie riemannienne. Et si j'ai besoin d'apprendre la géométrie riemannienne, quel devrait être mon chemin d'apprentissage. Je ne veux pas apprendre des mathématiques rigoureuses. Je veux juste l'appliquer aux statistiques.
Réponses
Avishek, pas facile de répondre avec le peu de contexte que vous fournissez.
J'irais d'abord avec ce que votre prof a dit, et oui, Do Carmo est l'endroit où aller.
Vous y apprendrez tout sur les surfaces en$R^n$, qui est fondamentalement la géométrie différentielle classique.
Si, en revanche, votre projet se situe au niveau de la recherche (disons mémoire de master ou au-delà), alors téléchargez cet article . Cela a à voir avec la géométrie abstraite de l'information, qui à son tour s'appuie sur la géométrie différentielle moderne : variétés, calcul tensoriel, etc. vous définissez intrinsèquement l'ensemble de la machinerie.
Si vous ne connaissez pas la géométrie classique des surfaces, il vous reste encore à passer quelques jours sur Do Carmo. Alors préparez-vous à beaucoup de sueur, pour entrer dans l'approche moderne.
J'espère que cela aide
Je pense que Do Carmo est une bonne option. Personnellement, je suis fan de John Lee's Introduction to Smooth Manifolds et de sa suite Riemannian Manifolds. Bien que ceux-ci soient écrits à un niveau supérieur, ils mettent vraiment l'accent sur l'image géométrique au travail.
Je pense que l'enquête de Nielsen est un bon article et j'ai trouvé très utile d'avoir un aperçu général d'IG. Cependant, je ne recommanderais pas de l'utiliser pour apprendre la géométrie différentielle. La plupart des livres sur la géométrie de l'information adoptent une approche très particulière de la géométrie, ce qui peut donner lieu à divers malentendus. Ce n'est pas un gros problème si vous êtes déjà familiarisé avec la géométrie différentielle, mais c'est plus un problème si vous essayez de l'apprendre.
Ces deux ouvrages valent la peine d'être lus si vous êtes intéressé par IG, mais je vais donner un exemple de ce que je veux dire. Le livre d'Amari et l'article d'enquête de Nielsen déclarent que l'holonomie d'une connexion plate est triviale (bien qu'ils n'utilisent pas ce langage). En géométrie de l'information, les connexions plates d'intérêt sont généralement sur des familles exponentielles (où cela finit par être vrai). Cependant, en général, l'holonomie d'une connexion plate n'est pas nulle (elle est induite par le groupe fondamental). De plus, pour ce résultat, la connexion doit être à la fois sans courbure et sans torsion (pas seulement sans courbure). Les collecteurs statistiques sont généralement considérés comme ayant des connexions sans torsion, ce n'est donc pas un problème dans les applications. Ce sont des points relativement mineurs si vous êtes familier avec la géométrie différentielle,