Comment le montrer $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ est une limite supérieure?

Question

J'essaye de prouver que la séquence donnée par la relation récursive $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ est convergent, $a_1 = 1$.

J'ai réussi à prouver par induction que la séquence est en augmentation stricte .

J'utilise le théorème qui dit que

Si une séquence est monotone et bornée, elle est convergente.

Par conséquent, je dois maintenant prouver qu'il existe une limite supérieure

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Ma tentative

J'utiliserai à nouveau l'induction.

• Pour $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
• Pour $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
• Pour $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $

J'ai montré ça $a_{k+1}$ est moins que $M^2$ alors que dans l'étape d'induction, j'ai déclaré que $a_{k+1}$ est inférieur à $M$. Le carré me déroute un peu, et je ne sais pas si j'ai effectivement prouvé la limite ici, donc je pose cette question

Answer 1

Notez que $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$. Alors tu pourrais faire$M=\frac{M^2}{4}-3$ qui donne en effet $M=6$ comme solution.

Answer 2

La manière d'aborder ce type de problèmes est généralement la suivante.

Imaginez que vous ayez déjà prouvé que la séquence converge ... alors $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$. Ne seriez-vous pas intéressé de découvrir ce$a$? La façon de le faire est: dans l'équation$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ vous calculez les limites du côté gauche et droit lorsque $n\to\infty$. Vous obtenez:

$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$

alors $a=\sqrt{12+4a}$ ce qui implique $a=6$.

Donc, ce que vous avez prouvé, c'est que si $a_n$ converge, il doit converger vers $6$et aucun autre numéro. Vous savez également qu'il converge (car on ne vous demanderait pas de le prouver si ce n'était pas le cas!) Alors sachant qu'il augmente de manière monotone, vous voyez immédiatement que$a_n\lt 6$, approchant $6$ "d'en bas", et en fait $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$.

Ainsi, il est peut - être avantageux d'essayer d'oublier tout ce que nous avons dit jusqu'à présent et de prouver$a_n\lt 6$, ce qui signifiera immédiatement que votre séquence est monotone croissante et limitée - donc convergente.

Et, en effet (preuve par induction), $a_1=5\lt 6$ et si $a_n\lt 6$, puis $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$.

Answer 3

Indice: prouvez par récurrence que $a_n \leq 6$ pour tous $n$.