Comment « lire » cette fonction ?
J'essaie de comprendre une preuve dans laquelle vous devez créer une fonction injective$g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$($ℕ^ℕ$est l'ensemble de toutes les fonctions de$ℕ$à$ℕ$), et mon livre le définit ainsi :
Je comprends (évidemment) la partie qui dit$0.101001000..$mais je ne comprends pas la formule$a_n$. Où il est dit "pour certains$k≥1$" cela signifie-t-il que je dois définir$k$ avant d'appliquer cette formule ou je dois calculer les valeurs changeant$k$heures supplémentaires?
J'ai essayé d'obtenir le même nombre qu'ils ont obtenu pour la fonction d'identité (le$0.10100..$) mais je ne vois pas comment ils l'ont obtenu en utilisant la formule :
Utilisation de la fonction d'identité$i(n)=n$, avec$k=2$la condition « si$n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$deviendrait$2+f(i(0))+f(i(1))$mais comment puis-je savoir quelles valeurs$f(0)$,$f(1)$etc ont?
Pourriez-vous les gars s'il vous plaît calculer ce nombre qu'ils ont obtenu en utilisant la fonction d'identité en utilisant cette formule ?
Merci!
Réponses
Ils ont très probablement foiré et utilisé$i$pour deux choses totalement différentes. eg signifie par exemple donc$i()$est un exemple simple pour$f()$mais ils ont utilisé$i$comme index et comme nom de fonction. Mauvais gens. Remplacer$i$lorsqu'il est utilisé pour la fonction nom, identité, ligne 4, 8 et 11 avec par exemple$d$et lire à nouveau.
L'expression pour$a_n$est inutilement compliqué, ajoutant à la confusion. Il dit simplement qu'il y a$f(0)+f(1)+...+f(m)$zéros plus$m$ $1$est avant chaque$1$dans l'agrandissement. C'est une inversion logique qui fait qu'une chose très simple sonne tellement mathématique, ce qui est une pratique que vous pouvez trouver dans des endroits beaucoup plus sérieux. Désolé pour la torture.
$f(0)$,$f(1)$sont les valeurs d'une fonction choisie. Ce paragraphe explique donc comment mapper une fonction sur un nombre réel. Cela signifie que pour toute fonction, créez ce mappage.
La phrase "Comment puis-je savoir quelles valeurs$f(0)$,$f(1)$, etc., ont ?" montre qu'il y a un malentendu autour :$f$vous est donné . C'est un "point" avec une infinité de coordonnées$\bigl(f(0)$,$f(1)$,$f(2)$,$\ldots\bigr) $. Vous devez maintenant encoder ce point dans une chaîne binaire à partir de laquelle toutes les coordonnées$f(i)$peut être récupéré plus tard. Il semble que vous ayez compris l'idée de la construction telle qu'elle a été démontrée dans l'exemple.
Le problème est maintenant de trouver une description "mathématique" de l'idée de construction. La description donnée transfère plus ou moins l'idée, mais on suppose que le lecteur sait déjà ce qui se passe. Je le ferais de la manière suivante : étant donné$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$, définir des nombres$n_k$ $(k\geq1)$comme suit:$$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$et met$$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$