Comment résoudre cette congruence quadratique? $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$ [dupliquer]
Donné $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$
Comment résoudre cette congruence quadratique? Tous les indices sont les bienvenus. J'ai terminé le carré, donc j'ai obtenu$27(x+\frac{10}{27})^2+\frac{845}{27} \equiv 0 \pmod{23} $ J'ai besoin d'obtenir 2 solutions dans le système du moindre résidu qui sont les bonnes réponses: $w\equiv 6 \pmod{23}$ et $w \equiv 12 \pmod{23}$
Réponses
Pour faciliter le calcul manuel, nous réécrivons l'équation comme $$4w^2-3w+12\equiv0\bmod23$$ Diviser par le coefficient principal, c'est-à-dire multiplier par $4^{-1}=6$: $$w^2+5w+3\equiv0\bmod23$$ Maintenant, appliquez la formule quadratique: $$w\equiv\frac{-5\pm\sqrt{13}}2\bmod23$$ Nous devons travailler sur les racines carrées de $13$ dans $\mathbb Z_{23}$. $6$ est facilement vérifiée comme une racine, donc $-6$ est l'autre: $$w\equiv\frac{-5\pm6}2\equiv9\pm3\bmod23$$
Allusion:
$$\pmod{23}: 4w^2-3w+12\equiv 0 \implies 8w^2-6w+1\equiv 0 \implies (2w-1)(4w-1)\equiv 0. $$
Mettre à jour Pour justifier pourquoi je multiplie 2 par$4w^2-3w+12$, il est plus facile de travailler avec des nombres entiers qu'avec des fractions, donc pour compléter le carré en gardant chaque entier à coefficients nous multiplions par 16:
$$16(4w^2-3w+12)=64w^2-48w+192=(8w-3)^2+183\equiv (8w-3)^2-1 = (8w-2)(8w-4)=8(4w-1)(2w-1) \pmod{23}$$
et maintenant vous voyez pourquoi.
Mise à jour 2: J'aime la façon dont Parcly Taxel fait d'abord le monique quadratique:
$$w^2+5w+3\equiv0\pmod{23}$$
Après cela, cela peut être fait un peu plus vite:
$$w^2-18w+3\equiv 0 \implies (w-9)^2 = 78\equiv 9 =3^2 \implies (w-6)(w-12) \equiv 0 \pmod{23}$$
Depuis $27 \equiv 4$ nous pouvons écrire l'équation comme $4w^2 + 20w + 35 \equiv 0.$ Compléter le carré donne $(2w+5)^2 + 10 \equiv 0,$ c'est à dire $(2w+5)^2 \equiv -10.$ Mais $-10 \equiv -10+2\cdot 23=36=6^2,$ alors $2w+5\equiv\pm 6,$ c'est à dire $2w=-5\pm 6.$
Cas $+$: $2w=-5+6=1\equiv 1+23=24=2\cdot12$ alors $w\equiv12.$
Cas $-$: $2w=-5-6=-11\equiv -11+23=12=2\cdot6$ alors $w\equiv6.$
Ainsi, les solutions sont $w=12$ et $w=6$.