Comparaison d'ensembles de nombres premiers jumeaux avec d'autres ensembles. Pourquoi y a-t-il une valeur max et min?
J'ai pris 2 séries: La première est une liste consécutive du premier premier des paires jumelles. La seconde est une liste consécutive de nombres comme suit 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ....
J'ai ensuite comparé entre les listes en divisant les numéros de la deuxième liste avec les numéros de la première liste, et un taux de croissance constant de la distribution se produit (comme le montrent les images ci-dessous).
Si vous analysez les données (comme le montrent les images ci-dessous), vous remarquerez que:
Si la fluctuation de la colonne E est trop élevée (généralement au-dessus de 1,1), alors la paire de jumeaux "suivante" devra être plus petite que la paire "actuelle:", produisant ainsi une erreur.
Vous pouvez également remarquer que la fluctuation de la colonne E n'est jamais trop faible (probablement pas moins de 0,99 après les premières centaines).
Le même phénomène se produit si je remplace la colonne C par les carrés 1,4,9,16,… ou par un polynôme quadratique arbitraire.
Lors du remplacement de la colonne C par une constante égale à 1, la valeur max ne passe jamais 1 (évidemment). Cependant, après les premières centaines, la valeur minimale n'est probablement pas inférieure à 0,99.
Quelqu'un peut-il me fournir une explication théorique pour expliquer pourquoi cela pourrait être ?.
Liste des 100000 premiers avec la colonne C: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 ....
Liste des 100000 premiers avec la colonne C: avec les carrés 1,4,9,16,25 ...
Liste des 100 000 premiers avec colonne C: constante = 1
Merci.
Réponses
Quelle est la motivation de cet enchevêtrement de calculs?
Laisser $B_2=3,B_3=5,\cdots $être votre séquence de "premier membre d'une paire jumelle principale". Pour une raison quelconque à partir de l'index$2.$ Nous ne savons pas que c'est une séquence infinie mais nous soupçonnons fortement que c'est avec $B_n \approx k n (\ln n)^2$ pour une certaine constante $k.$ Il y a des conjectures sur $k$mais cela n'a guère d'importance ici. Donc, pour une explication plausible, nous pouvons dire que$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ est nettement supérieur à $1$mais en l’approchant à un rythme moyen régulier. Peut-être avec$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ Ou, pour être particulièrement imprudent, $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
Les nombres $E_n$ vous analysez sont exactement $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ donc il y a votre explication pour pourquoi ils sont parfois au-dessus $1$ et parfois en dessous, avec une convergence vers $1.$
Digression: après les premières paires, chaque membre de la séquence est $11,17$ ou $29 \bmod 30.$Peut-être que cela introduit un peu de grumeaux. Je ne sais pas. Vous pouvez vérifier si le plus ou le moins$1$ le comportement est corrélé à la classe de congruence $\bmod 30$ étant $11$ contre $17$ ou $29.$ Dans l'affirmative, ce comportement semble-t-il persister ou disparaître?
La séquence $C_1=1,C_2=3,\cdots $ des nombres triangulaires a $C_n=\frac{n(n+1)}2$ alors $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ exactement.
Vous définissez $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ et puis, pour $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
Si au lieu de nombres premiers jumeaux vous avez utilisé des nombres premiers, avec $p_n \approx n\ln n,$les résultats devraient être à peu près les mêmes, peut-être moins saccadés. Si au lieu de nombres triangulaires vous utilisiez des carrés, vous auriez$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ qui est très proche de $\frac{n-1}{n+1}$
Les étapes supplémentaires d'ajout de termes successifs d'une colonne précédente ou de prise de rapports donnent des séquences qui convergent vers un ou grandissent comme $n.$