Compréhension $P_i$ composant principal.

Question

De l'algèbre abstraite de Dummit et Foote, après avoir prouvé

Il dit ce qui suit.

En classe, nous avons défini $N_i$ être le $p_i$-composant principal de $M$. Mais j'ai du mal à comprendre ce qui regroupe tous les facteurs cycliques correspondant au même premier$p_i$.

Je suppose que dans la décomposition, nous obtenons des nombres premiers $p_1, \ldots p_t$. Et parmi ceux-ci, nous choisissons différents$p_1, \ldots p_n$. Et disons-nous$N_i = R/(p_i^{\alpha_s}) \oplus \ldots \oplus R/(p_i^{\alpha_k})$? Et n'y a-t-il plus de simplification possible?

Merci.

Answer 1

Vous avez raison. Vous laissez$N_i$ être la somme directe de ces composantes correspondant au nombre premier $p_i$ (où le $p_i$sont maintenant des nombres premiers distincts ). Il n'y a plus de simplification possible.

Une chose à laquelle il faut faire attention: $N_i$ sont uniquement déterminés par le groupe $M$, mais les composants dans un $N_i$ne sont pas uniquement déterminés. Par exemple, il existe de nombreuses façons de décomposer$\mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ comme somme directe de cette forme.