Comprendre une preuve liée à la continuité

Question

Supposer que$f:X\to \mathbb{R}$est une fonction continue avec$f(y)>0$pour certains$y\in X$. J'ai lu dans une preuve qui dit

Depuis$f$est continue, il y a un voisinage ouvert$U$de$y$Et un$\delta>0$tel que$f(x)\geq \delta$pour$x\in X$.

Je ne comprends pas pourquoi ils existent, pourriez-vous expliquer ce qui se passait? La façon dont je comprends presque est:

1. Depuis$f$est continue, il existe un ouvert$U$contenant$y$tel que$f(x)>0$pour tous$x\in U$. Je ne vois pas comment cela est atteint par la définition de la continuité ...

2. Depuis$f>0$sur$U$par 1), on choisit$\delta>0$si petit que$f(x)\geq \delta$pour tous$x\in U$. Est-ce autorisé ? Si oui, pourquoi?

Answer 1

Prendre$\delta = \frac{f(y)}{2}$. Alors$(\delta, \infty)$est un ensemble ouvert. Par la définition de la continuité (pour un espace topologique général),$U = f^{-1}((\delta, \infty))$est ouvert. Et clairement par définition,$y \in U$puisque$f(y) > f(y) / 2 = \delta$. Et pour tous$x \in U$, Nous avons$f(x) > \delta$Et ainsi$f(x) \geq \delta$.