Contour intégré$\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$

Question

je voudrais m'intégrer$\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$où$m$est un entier.

Il semble y avoir des singularités à la fois réelles$x = \frac{n\pi}{a}$et imaginaire$x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$.

Cela semble suggérer que l' intégration des contours est la voie à suivre.

Maintenant, je ne sais pas comment procéder à partir de maintenant.

Answer 1

Pour$m>0$,$\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$, donc l'intégrale donnée est une somme de choses comme$$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$où, pour un complexe$z$avec$\Re z>-1$,$$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$avec$\psi$la fonction digamma (l'égalité finale est montrée comme c'est fait ici ). Si nous avions le sinus à la place du cosinus dans$\eqref{mainint}$, la$\psi$'s réduirait à cause de la formule de réflexion . Avec le cosinus en place, ce n'est pas le cas, ainsi que dans le résultat final. C'est pourquoi je ne m'attends pas à ce que l'intégration des contours produise quoi que ce soit d'utile.