convergence dans la distribution $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$

Question

Définir une séquence de distribution $u_n$.

Laisser $u_n\to u$ dans $D'(X)$ et supposons que nous avons une seuil $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ tel que $\varphi_n\to \varphi $ dans $C_c^\infty(X)$.

Pouvons-nous montrer $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$

Je sais que nous pouvons montrer $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ pour toute $\phi\in C_c^\infty(X)$,et $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ pour chaque $n$.Comment les combiner ensemble?

$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$

Mais pas exactement deux mêmes variables?

Answer 1

Je suppose que $X$ est un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}^n$. Pour tout sous-ensemble compact$K$ de $X$, laisser $C_K^{\infty}(X)$ désignent l'espace Frechet de tous $f \in C_c^{\infty}(X)$ tel que $\text{supp}(f) \subset K$.

Un théorème non trivial sur la convergence dans la topologie limite inductive stricte de $C_c^{\infty}(X)$ implique qu'il doit y avoir $n_0 \geq1$ et un sous-ensemble compact $K \subset X$ pour que chacun $\varphi_n$ avec $n \geq n_0$ et $\varphi$ appartient lui-même à $C_{K}^{\infty}(X)$ et cela $\varphi_n \rightarrow \varphi$dans cet espace. La carte de restriction$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ est continue pour les topologies en étoile faible et donc la séquence de distributions restreintes $u_n|_{C_K^{\infty}}$ converge vers la distribution restreinte $u|_{C_K^{\infty}}$ dans la topologie en étoile faible sur $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.

Nous avons donc réduit notre problème à prouver que dans chaque espace Frechet $V$, pour chaque séquence convergente de vecteurs $\varphi_n \rightarrow \varphi$ et séquence convergente en étoile faible de fonctionnelles linéaires continues $\ell_n \rightarrow \ell$, nous avons $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ dans $\mathbb{C}$, comme $n \rightarrow \infty$.

Par une autre réduction facile, il suffit de le prouver dans le cas $\varphi=0$ et $\ell = 0$.

Cela découle à son tour du principe de délimitation uniforme dans les espaces de Frechet, comme expliqué dans cette réponse . Ce théorème implique que la famille$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ est automatiquement équi-continue, ce qui signifie que, étant donné $\varepsilon >0$, il y a $U \subset X$ ouvert, $0\in U$, pour que pour tous $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ nous avons $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. Tellement donné$\varepsilon$, choisissez d'abord un tel $U$ puis prends $n$ suffisamment grand pour que $\varphi_n \in U$.