Convergence uniforme de séquence de fonctions nulles presque partout

Aug 15 2020

Laisser $B([a , b])$ être l'espace des fonctions bornées et mesurables à partir d'un intervalle borné fermé $[a , b]$ dans $\mathbb R$doté de la norme sup. Je sais que c'est un espace Banach.

Considérons maintenant le sous-espace vectoriel suivant de $B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

Comment le montrer $L_{0}$ est un sous-espace fermé de $B([a , b])$.

Ma tentative est la suivante:

Laisser $f \in B([a , b])$ être un point limite de $L_{0}$. Puis il y a une séquence$( f_{n} )$ dans $L_{0}$ tel que $f_{n} → f$ uniformément et donc $f_{n} (x) = f (x)$ pour tous $x \in [a , b]$. Maintenant depuis$f_{n} = 0$ ae pour tous $n\in\mathbb N$ et puisque l'intersection dénombrable de sous-ensembles de mesures complets est donc un sous-ensemble de mesures $f = 0$ae Toute correction en cas d'erreur est grandement appréciée. Merci pour toute aide.

Réponses

Surb Aug 15 2020 at 21:38

Laisser $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ une séquence de $L_0$ qui converge vers une fonction $f$. En particulier,$f_n(x)\to f(x)$ ae et donc $f=0$ ae Par conséquent, $L_0$ est séquentiellement fermé et donc fermé.