Décomposition spectrale vs expansion de Taylor

Nov 30 2020

Cette question et les commentaires et réponses qu'elle a reçus m'ont encouragé à poser cette question, même si je sais qu'il y aura des gens qui penseront que cela appartient au forum mathématique. Mais je pense que ce sujet est plus pertinent pour les physiciens mathématiciens que pour les mathématiciens purs.

Motivation: L'une des réponses à cette question explique que si$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ est une fonction appropriée et $A\colon\text{Dom}(A)\subset H\to H$est un opérateur approprié, nous pouvons définir \ begin {équation} f (A): = \ int _ {\ mathbb C} f \, \ mathrm {d} P_A \ end {équation} où$P_A\colon B(\mathbb C)\to B(H)$est une mesure. Cependant, il est beaucoup plus facile de comprendre la définition en termes de séries convergentes, par exemple dans le cas de l'exponentielle ou du logarithme. (En physique statistique,$S=k_B\langle\ln\rho\rangle$ est l'entropie, quand $\rho$est l' opérateur de densité .) C'est pourquoi j'aimerais savoir:

Est-il également possible d'écrire $f(A)$ en termes de série convergente lorsque $f$a une expansion taylor autour d'un certain point?

Dans le cas où la réponse est oui, je me demande également s'il existe un moyen relativement simple de voir comment l'intégrale et la série sont équivalentes. (Autant que je sache, les intégrales - même$\int_{\mathbb C}f\,\mathrm{d}P_A$ - peut être exprimé comme la limite de certaines séries, alors peut-être que ce serait un bon point de départ).

Exemples: l'expression \ begin {équation} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} Une ^ n \ end {équation} a du sens à chaque fois$A$ est un élément d'un espace normé complet et converge vers $\mathrm{e}^A=\int_{\mathbb C}\text{exp}\,\mathrm{d}P_A$ quand $A$est l'opérateur approprié ( source ).

On sait même que \ begin {équation} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ N (-1) ^ {k + 1} \ frac {(A- \ text {id}) ^ k} {k} \ right) _ {N \ in \ mathbb N} \ end {équation} converge vers$\text{ln}(A)$dans certaines circonstances (voir ici et ici ), je me demandais donc s'il y avait une règle générale. Autrement dit, si nous avons \ begin {équation} f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (xb) ^ n, \ end {équation} dans un voisinage de$b$, est-ce que \ begin {équation} f (A) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (Ab \ cdot \ text {id}) ^ n? \ end {équation}

Réponses

9 ValterMoretti Dec 01 2020 at 01:17

Si l'opérateur $A$ appartient à $B(H)$ (l'espace de l'opérateur borné défini partout sur l'espace de Hilbert $H$) et est normal: $$A^*A=AA^*$$ puis il admet une décomposition spectrale $$A = \int_{\mathbb{C}} z dP(z) = \int_{\sigma(A)} z dP(z)$$ et, avec une notation évidente, $|\sigma(A)| \leq ||A|| <+\infty$.

Dans ce cas (et aussi dans le cas général où $A$ est illimité (densément défini, fermé, normal)), $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ pour chaque fonction mesurable Borel $f: \sigma(A) \to \mathbb{C}$. Dans ce cas, la réponse est relativement simple.

Proposition .

Laisser $A \in B(H)$ être normal et considérer $f: \Omega \to \mathbb{C}$ une fonction analytique sur l'ensemble ouvert $\Omega \subset \sigma(A) \subset \mathbb{C}$.

Si $z_0 \in \Omega$ et l'expansion Taylor de $f$ environ $z_0$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$ a un rayon de convergence $R+\epsilon$ pour certains $\epsilon>0$, et enfin $$\sigma(A) \subset C_R(z_0):= \{ z\in \mathbb{C}\:|\: |z-z_0| <R\}$$ puis $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n$$ où le point de convergence du côté droit est dans la norme de $B(H)$.

PREUVE . On part de l'inégalité$$||\int_{\mathbb{C}} g(z) dP(z)|| \leq ||g||_\infty$$ qui est valable si $g$est Borel-mesurable et borné. Cette inégalité est vraie même si$A$ n'est pas borné.

Exploiter cette inégalité que nous avons $$\left|\left|\int_{\sigma(A)} \left[\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right] dP(z)\right|\right| \leq \sup_{z\in \sigma(A)}\left|\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right| \to 0$$ pour $N\to +\infty$puisque la convergence de l'expansion de Taylor est uniforme dans chaque compact du disque de convergence. Remarquerez que$\sigma(A)$ est en effet un compact inclus dans $C_{R+\epsilon}(z_0)$.

Utilisation de la définition de $g(A)$, on a donc ça $$\int_{\sigma(A)} \sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n dP(z) \to \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ par rapport à la norme de $B(H)$. En d'autres termes, si$N\to +\infty$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (A-z_0I)^n = f(A)$$dans cette topologie. Telle est la thèse. QED

Il y a d'autres résultats qui peuvent être prouvés de manière analogue et qui englobent le cas de $A$illimité (densément défini, fermé et normal). Si$\psi$ appartient à l'espace de projection de $\int_{E} 1 dP(z)$, où $E \subset C_{R}(z_0)$ est un ensemble Borel borné (de sorte que $\psi$ est un vecteur analytique de $A$), puis $$f(A)\psi = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n\psi$$ où maintenant la convergence est dans la norme spatiale de Hilbert.