Déduire que $X$ a une distribution normale avec une moyenne $0$ et variance $1$

Question

J'ai déjà posé une question sur un problème de Grimmet $ Welsh (et je remercie beaucoup @angryavian et @Graham Kemp):

"Si $ X + Y $ et $ X - Y $ sont indépendants, montrez que \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} où $ X, Y $ sont des RV indépendants avec une moyenne de 0 $ , une variance $ 1 $ et $ M (t) $ finie. "

C'est son lien: fonction de génération de moment appliquée dans $ 2t $ .

Mais maintenant, il y a la "deuxième" partie du problème: montrer que $ X $ (et $ Y $ ) sont une RV avec une distribution normale avec une moyenne de 0 $ et une variance de 1 $ .

Le livre lui-même propose de définir une fonction $ \ psi (t) = \ frac {M (t)} {M (-t)} $ et de montrer que $ \ psi (t) = \ psi (2 ^ {- n} t) ^ {2n} $ . Ensuite, montrez que $ \ psi (t) = 1 + o (t ^ {2}) $ comme $ t \ à 0 $ et $ \ psi (1) = 1 $ lorsque $ n \ à 0 $ . Cela nous permettra de conclure que $ M (t) = M (-t) $ et, lorsque nous l'appliquons à l'équation principale (celle du lien et au-dessus), nous obtenons $ M (t) = M (\ frac {1} {2} t) ^ {4} $ . Le livre dit alors de répéter la procédure pour obtenir le résultat souhaité. Alors, j'ai quelques questions:

1. Comment montrer que $ \ psi (t) = \ psi (2 ^ {- n} t) ^ {2n} $ ?
2. Que signifie ce "o" dans $ \ psi (t) = 1 + o (t ^ {2}) $ ? (Je ne me souviens pas d'avoir vu cela à travers le chapitre)
3. Quelle est la procédure à répéter pour obtenir le résultat souhaité? Le tout? La dernière partie?

Bien sûr, si quelqu'un connaît une autre façon de prouver cette affirmation, je serai très apprécié! Merci d'avance pour votre aide!

Answer 1

Astuces:

• En utilisant la première partie de la question, $\psi(t) = \frac{M(t)}{M(-t)} = \frac{M(t/2)^3 M(-t/2)}{M(-t/2)^3 M(t/2)}$. Faites un peu plus de travail pour montrer$\psi(t) = \psi(t/2)^2$.

• $\psi(t) = \psi(t/2)^2$ implique l'égalité plus générale $\psi(t) = \psi(t/2^n)^{2n}$.

• Par une extension de Taylor de $\psi$, nous avons $\psi(t) = \psi(0) + \psi'(0) t + \frac{1}{2} \psi''(0) t^2 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi)t^3$ pour certains $\xi$ entre $0$ et $t$. Nous savons$\psi(0)=1$. On a $$\psi'(t) = \frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2}$$ donc $\psi'(0)=0$ (car $M'(t)=E[X]=0$). Nous avons aussi $$\psi''(t) = \frac{d}{dt}\frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2} = \frac{[M''(t)M(-t) - M(t) M''(-t)]M(-t)^2 + [M'(t)M(-t)+M(t)M'(-t)] 2 M(-t) M'(-t)}{M(-t)^4}$$ donc $\psi''(0)=0$ (depuis $M''(0)=E[X^2]=1$). Ainsi, l'expansion de Taylor devient $$\psi(t) = 1 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi) t^3.$$ Si vous montrez $\psi'''$ est limité par une constante $C$ pour $t$ près de zéro (je ne peux pas penser à un moyen simple de montrer cela, et je suppose que les troisièmes moments existent ... peut-être que quelqu'un d'autre peut nettoyer mon désordre ici), alors nous avons $$\lim_{t \to 0} \frac{|\psi(t) - 1|}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{C}{6} |t| \to 0$$ qui est la définition de $\psi(t)=1+o(t^2)$.

• $\psi(1) = \lim_{n \to \infty} \psi(2^{-n})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (1 + o(2^{-2n}))^{2n} = 1$ (Je saute des étapes ici)

• $\psi(1)=1$ implique $M(t)=M(-t)$

• $M(2t) = M(t)^3 M(-t) = M(t)^4$

• $M(t) = M(t/2)^4$

• $M(t) = M(t/2^n)^{4n}$

• il reste encore du travail à faire pour en déduire que $M(t)=e^{-t^2/2}$ est le seul MGF candidat possible qui satisfait la récurrence ci-dessus.