Définition mathématique de la puissance [dupliquer]

Question

Je suis un lycéen qui jouait avec certaines équations, et j'ai dérivé une formule pour laquelle je ne peux pas l'imaginer physiquement.

\begin{align} W & = \vec F \cdot \vec r \\ \frac{dW}{dt} & = \frac{d}{dt}[\vec F \cdot \vec r] = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt} \\ \implies & \boxed{P = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}} \end{align}

J'ai différencié le travail en utilisant sa formule de forme vectorielle $\vec F \cdot \vec r$J'ai donc obtenu cette formule en appliquant la règle du produit. Si dans cette formule$\frac{d\vec F}{dt}=0$ (La force est constante), alors que la formule devient $P = \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}$ ce qui est tout à fait logique, mais cette formule suggère également que si $\frac{d\vec r}{dt}=0$ alors la formule du pouvoir devient $P =\frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r$, ce qui implique que si la vitesse est nulle, cela ne signifie pas nécessairement que la puissance de l'objet sera également nulle!

Mais je ne trouve pas cela dans mon manuel de lycée et je ne peux pas penser à un exemple sur ce sommet de ma tête où cette situation est vraie.

D'après ce que j'ai entendu et lu, si la vitesse de l'objet est nulle, la puissance est également nulle.

Quelqu'un peut-il s'il vous plaît effacer ma supposée idée fausse ou me donner un exemple de la situation où cela se produit?

Answer 1

Le travail effectué par une force n'est pas défini par $W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. Le travail est plutôt défini en termes d'une ligne intégrale sur un chemin (votre équation assigne simplement un travail pour une force et une position, ce qui ne correspond pas à ce que nous entendons par le travail effectué par une force). Nous avons

$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$

Alors quand on a $P=\text dW/\text dt$ nous avons juste

$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$

Donc il n'y a pas $\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$terme dans l'expression pour le pouvoir. Cela fonctionne également sur le plan conceptuel: la puissance de sortie d'une force ne doit pas dépendre directement de la position de la particule (c'est-à-dire de l'emplacement de l'origine) en question.

Answer 2

Le travail est défini comme $W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. La puissance, P, est dW / dt =$\vec F \cdot \vec v$.

Votre relation pour le travail est incorrecte, donc votre relation pour le pouvoir (relation encadrée dans votre question) n'est pas correcte.

Answer 3

Comme d'autres l'ont déjà répondu, $W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ est une simplification et ne fonctionne que dans un cas particulier de constante $\mathbf F$. Et vos formules aussi.

Une façon de voir les choses physiquement est de reconnaître que le travail n'est pas fonction de la position. Mathématiquement, nous le décrivons généralement en utilisant le concept de différentiel inexact:

$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$

Cette notation est utilisée pour souligner le fait que vous pouvez intégrer les deux côtés et obtenir le même nombre, mais vous ne pouvez pas réorganiser cette formule et en fait vous ne pouvez pas (en général) exprimer $\mathbf F$ en utilisant $W$.

Un exemple de différentiel exact et ce qu'il vous permet de faire:

$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$

PS Il existe des cas particuliers où vous pouvez écrire $\mathbf F = \nabla \, W$, dans ces cas, on dit que $\mathbf F$ est une force potentielle.

Answer 4

Lorsque vous prenez des produits dérivés, il est d'une importance cruciale d'avoir une idée très claire de ce qui est fonction de quoi.

Dans la définition du travail, la force est fonction de la position et non du temps. Cela signifie que bien que vous puissiez certainement vous déplacer dans un champ de force qui varie dans le temps, ce qui compte, c'est la force que vous mesurez à chaque étape de votre chemin, quelle que soit la façon dont cette force a été dans le passé ou sera dans le futur.

Answer 5

Les autres réponses traitent de choses étranges comme les intégrales et les différentiels. Cette réponse tente de rencontrer le PO là où il se trouve: elle est ciblée sur le niveau de mathématiques utilisé dans la question et commence par la formule$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.

On peut supposer que la raison pour laquelle vous avez commencé avec cette formule est que vous avez le trouver dans votre manuel d'études secondaires et il a enseigné à l' école. C'est parce que la formule est juste, contrairement à ce que disent certaines des autres réponses. Mais vous devez comprendre deux choses pour l'appliquer correctement:

1. Cela demande $\vec{F}$ être constant.
2. Cela demande $\vec{r}$être le changement de position alors que l'objet est soumis à la force$\vec{F}$. Ce serait mieux écrit comme$\Delta \vec{r}$. [1]

Regardons maintenant votre problème:

si $\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$ alors la formule du pouvoir devient $P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$, ce qui implique que si la vitesse est nulle, cela ne signifie pas nécessairement que la puissance de l'objet sera également nulle

Cette déclaration ne tient pas compte des deux choses discutées ci-dessus:

1. Il ne reconnaît pas que $\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
2. Il ne reconnaît pas que $\vec{r}$, qui est vraiment $\Delta \vec{r}$, ne veut vraiment rien dire lorsque la vitesse est nulle. (Pour répondre à ce point correctement, nous faisons besoin Intégrales - voir les autres réponses.)

[1] Pour ceux qui connaissent l'électricité, c'est comme si les gens écrivaient souvent $V$ quand ils veulent vraiment dire $\Delta V$.