Démonstration de l'impossibilité de tracer un parallèle par un point en utilisant uniquement une règle.

Question

D'après les réponses à cette question , il semble bien connu qu'il est impossible de tracer un parallèle à une ligne droite:$\ell$ à travers un point: $P$, en utilisant exclusivement une règle.

Pouvez-vous fournir une démonstration de ce fait?

Answer 1

Une construction qui n'utilise qu'une règle droite peut être transformée via une transformation projective (aka homographie) .

Supposons que vous ayez une construction de règle pour une ligne $m$ au point $P$ parallèle à la ligne $\ell$. Supposons qu'une transformation projective mappe$P\rightarrow P'$ et $\ell\rightarrow \ell'$. Ensuite, la même construction produirait une ligne$m'$ qui en général n'est pas parallèle à $\ell'$. Nous avons donc une contradiction, et il n'y a pas de telle construction de règle.

La démonstration est un peu plus convaincante si la transformation projective part $P$ et $\ell$invariant. Dans ce cas, la même construction produirait deux lignes différentes, lorsqu'elle est appliquée avant et après au même point et à la même ligne.