Densité maximale d'un ensemble sans motif fixe
Considérons un ensemble fini $S$ d'entiers non négatifs.
Quelle est la densité naturelle maximale d'un sous-ensemble infini de $\mathbb{Z}$ qui ne contient aucune traduction de $S$?
Bien sûr, cela dépendra de $S$, mais il existe peut-être un algorithme ou une caractérisation simple. Je suis également intéressé par la même question en$\mathbb{Z}^k$.
Les questions ci-dessus ont-elles fait l'objet de recherches sous quelque forme que ce soit? Je n'ai pas proposé de requête de recherche qui renvoie quoi que ce soit.
Réponses
La question équivaut à trouver la densité minimale d'un revêtement de $\mathbb{Z}$ par les traductions de $-S$. Ce problème a été étudié pour les entiers et aussi pour d'autres groupes; voir par exemple
Wolfgang M. Schmidt et David M. Tuller, Couverture et emballage $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{R}^n$, http://dx.doi.org/10.1007%2Fs00605-009-0099-x
Béla Bollobás, Svante Janson et Oliver Riordan, Sur la couverture par les traductions d'un ensemble, https://doi.org/10.1002/rsa.20346