Dérivation de la transformation passe-bas en passe-bande

Dec 04 2020

J'ai une question fondamentale.

La transformation passe-bas "bien connue" en passe-bande est $$ s \longmapsto \frac{\bar{s}^2 + \omega_1\omega_2}{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}, $$ qui donne une fonction de transfert de bande passante de $$ \frac{1}{s + 1} \longmapsto \frac{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}{\bar{s}^2 + \bar{s}(\omega_1 - \omega_2) + \omega_1 \omega_2}. $$

Mon intuition est qu'un passe-bande doit être le produit d'un passe-bas et d'un passe-haut. Cependant, ce produit donne une fonction de transfert différente:$$ \frac{\omega_1}{s + \omega_1} \frac{s}{s + \omega_2} = \frac{\omega_1 s}{s^2 (\omega_1 + \omega_2) s + \omega_1 \omega_2}, $$ ce qui indique que la transformation passe-bande ne donne pas cette cascade de passe-bas et passe-haut.

  • Ma question est la suivante: comment la transformation passe-bande est-elle conçue, en termes de combinaison de filtres passe-bas ou de placement de pôles?

  • Question connexe, mais en utilisant une technique de dérivation différente, et référence est faite à la dérivation passe-bas / passe-haut, mais elle n'est pas montrée: Comment la transformation passe-bas en passe-bande est-elle dérivée?

Réponses

4 MattL. Dec 05 2020 at 00:30

Vous avez raison de dire que la multiplication d'un filtre passe-bas et d'un filtre passe-haut se traduit par un filtre passe-bande, tant que la fréquence de coupure du passe-bas est supérieure à la fréquence de coupure du passe-haut. Le problème avec cette approche est que les filtres passe-bas et passe-haut avec des réponses en amplitude optimales selon certains critères choisis (Butterworth, Chebyshev, Cauer) ne donneront pas un filtre passe-bande optimal.

D'autre part, la cartographie d'un seul filtre optimal aboutira à un autre filtre optimal. En utilisant$\omega_l\omega_u=\omega_0^2$, où $\omega_l$ et $\omega_u$ sont respectivement des bords de bande inférieur et supérieur, et $\omega_0$ est la fréquence centrale du filtre passe-bande, et en laissant de côté les constantes par souci de simplicité, la transformation peut être écrite comme

$$s\longmapsto \frac{s^2+\omega_0^2}{s}\tag{1}$$

[Notez que $\omega_l$ et $\omega_u$ sont notés $\omega_1$ et $\omega_2$ dans l'OP, mais ils sont utilisés d'une manière différente dans la figure ci-dessous.]

La cartographie $(1)$ cartes DC ($\omega=0$) à la fréquence centrale souhaitée $\omega_0$. En outre,$s=\pm\infty$ est mappé à $s=0$ et $s=\infty$. Ainsi, tout l'axe de fréquence du filtre passe-bas est mappé sur l'axe de fréquence positif du filtre passe-bande. (Il en va de même pour le demi-axe négatif du filtre passe-bande):

(extrait de: Conception de filtres numériques par Parks et Burrus)