Dernier théorème de Fermat $\pm1$

Question

Je prépare un défi sur Code Golf.SE à propos des entiers$a, b, c \ge 0$ tel que

$$a^n + b^n = c^n \pm 1$$

pour un entier donné $n > 2$. Cependant, je suis intéressé à savoir s'il existe des solutions non triviales à cela pour un$n$. Ici, je définis les solutions «non triviales» comme des triplets$a, b, c$ tels que tous les trois sont uniques et non nuls (c'est-à-dire pour éviter $(a, 1, a)$ et $(a, 0, a)$, et triplets associés).

J'ai trouvé cette question qui pose une question connexe (et plus large) sur l'existence de tels triplets, et les états de réponse acceptés

Je pense que si $n\ge5$ (et en supposant la conjecture ABCD), alors pour tout $k$, l'équation $$ a^n + b^n - c^n = k $$ n'a qu'une infinité de solutions $a,b,c\in\mathbb{Z}$ avec $|a|,|b|,|c|$ distinct et non nul.

Cependant, cela n'indique pas complètement s'il existe un nombre non nul de solutions distinctes non nulles.

C'est un programme qui tente de trouver de tels triplets, avec$0 \le a, b, c \le 100$, étant donné une entrée $n$, mais jusqu'à présent, il n'en a pas trouvé non plus $n = 4$ ou alors $n = 5$, et il expire si vous augmentez la limite supérieure d'un montant significatif.

Par conséquent, ma question est:

• Peut-on montrer que, pour tous les entiers $n > 2$, l'équation $a^n + b^n = c^n \pm 1$ a au moins 1 solution non triviale, pour $a, b, c \ge 0$?
• Sinon, est-ce que l'élargissement de la plage pour $a, b, c$ à $\mathbb{Z}$ affecter ou changer cela?

Answer 1

[EDITED] Il est probable qu'il n'y ait aucune solution pour $n \ge 4$. Pour$n \ge 5$une solution serait un contre-exemple à la conjecture de Lander, Parkin et Selfridge . Le meilleur «quasi-accident» FLT que je connaisse est$13^5 + 16^5 = 17^5 + 12$.

Answer 2

Dans un message « Une conjecture liée au dernier théorème de Fermat » envoyé à Number Theory List le 26 septembre 2015, j'ai écrit ce qui suit:

En 1936, K. Mahler découvrit que $$(9t^3+1)^3 + (9t^4)^3 - (9t^4+3t)^3 = 1.$$ Clairement, $$|1^n+1^n-2^n| = 2^n-2\ \mbox{for every}\ n = 4,5,6,\ldots$$ et $$13^5+16^5-17^5 = 371293+1048576-1419857 = 12 < 2^5-2.$$

Ici, je rapporte ma conjecture suivante qui peut être considérée comme un raffinement supplémentaire du dernier théorème de Fermat.

CONJECTURE (24-25 septembre 2015). (i) Pour tous les nombres entiers$n > 3$ et $x,y,z > 0$ avec $\{x,y\}\not= \{1,z\}$, on a $$|x^n+y^n-z^n|\ge2^n-2,$$

à moins que $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ et $z = 17$.

(ii) Pour tous les nombres entiers $n > 3$ et $x,y,z > 0$ avec $z\not\in\{x,y\}$, il y a un prime $p$ avec $$x^n+y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n+y^n, $$

à moins que $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ et $z = 17$.

(iii) Pour tous les nombres entiers $n > 3$, $x > y \ge0$ et $z > 0$ avec $x\not=z$, il existe toujours un prime $p$ avec
$$x^n-y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n-y^n. $$

J'ai vérifié cette nouvelle conjecture via Mathematica. Par exemple, j'ai vérifié la partie (i) de la conjecture pour$n = 4,\ldots,10$ et $x,y,z=1,\ldots,1700$.