Déterminer la convergence d'une série.
Voici la série :$$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$La méthode que j'utilise pour déterminer cette série est le test de comparaison qui consiste à construire la séquence suivante :$$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Ce qui forme une série convergente où chaque terme est supérieur aux termes de la série ci-dessus, de sorte que je détermine que la série ci-dessus est convergente. Cependant, je ne sais pas si j'ai raison ou non. Par conséquent, si je me trompe, dites-moi comment le faire correctement ou si j'ai raison, veuillez confirmer avec moi ou me fournir une méthode alternative pour déterminer la convergence de la série ci-dessus pour discussion. Merci.
Réponses
Honnêtement, à moins qu'il n'y ait une instruction explicite d'utiliser un test, je préfère penser à ce type de séries en termes de test de comparaison limite (LCT) plutôt que de test de comparaison (CT).
L'énoncé habituel du LCT ressemble à ceci : Supposons que$\{ a_n \}$et$\{ b_n\}$sont des séquences avec$a_n \ge 0$,$b_n > 0$pour tous$n$. Si$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$existe et est différent de zéro, alors$\sum a_n$et$\sum b_n$convergent ou divergent ensemble.
Le LCT se soucie moins du sens de l'inégalité (contrairement au CT où il faut vérifier certaines inégalités qui peuvent être gênantes), et plus de l'asymptotique, ce qui le rend beaucoup plus puissant. Quant à la recherche du bon$b_n$à utiliser comme point de comparaison ? L'idée habituelle est de regarder les termes les plus dominants (c'est-à-dire les termes qui explosent le plus rapidement à l'infini) au numérateur et au dénominateur.
Dans votre exemple, le terme dominant au numérateur est$\sqrt{n}$, tandis que le terme dominant au dénominateur est$n^8$. Cela suggère que nous utilisons$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, qui fonctionne bien ici. On a$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$, et nous savons$\sum b_n$converge par le$p$-test. Ainsi, la série originale aussi.
Cette méthode a son propre nom Test de comparaison directe et indique ce qui suit :
Si série$\sum b_n$converge et$0 \leqslant a_n \leqslant b_n$pour suffisamment grand$ N \in \mathbb{N}, n> N$, alors$\sum a_n$converge également.
Détient$\sum a_n \leqslant \sum b_n$si la comparaison est$\forall n \in \mathbb{N}$.
Si$\sum a_n$diverge alors$\sum b_n$est divergente.
Dans le livre : Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey - Intermediate Calculus-Springer (2012) - page 105, Theorem 9.
Votre solution est bonne, mais vous vous sentez un peu en insécurité, laissez-moi vous montrer pourquoi le test fonctionne : une série$\sum_{k= 1}^\infty a_k$, par définition, représentent la limite de la suite de ses sommes partielles$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, pour$s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.
Quand chaque$a_k$est positif alors la suite$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$est une suite de nombres réels positifs strictement croissante et on peut donc montrer qu'elle converge si et seulement si elle est bornée .
Si$a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$alors c'est facile de voir que$0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$pour chaque$k\in \mathbb N $, et donc
$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$
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