Déterminer le polynôme minimal de $\alpha = 1 + 3^{1/3} + 9^{1/3}$ plus de $\mathbb{Q}$. Quel est$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$?

Question

Déterminer le polynôme minimal de $\alpha = 1 + 3^{1/3} + 9^{1/3}$ plus de $\mathbb{Q}$. Quel est$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$?

J'ai essayé de réorganiser $\alpha$ de façon que $f(\alpha) = 0$mais ne peut pas comprendre cette partie. Si je prends$(a-1)^3 = (3^{1/3} + 3^{2/3})^3$, ça ne s'arrête pas. Je ne peux pas me débarrasser du pouvoir de$1/3$.

J'ai aussi essayé $\alpha = (1+3^{1/3})^2 - 3^{1/3}$ mais ne fonctionne pas non plus.

Mon approche est-elle erronée?

Answer 1

Voici une prise de vue différente qui ne repose pas sur des manipulations algébriques.

$\mathbb{Q}(3^{1/3})$ a un diplôme $3$ plus de $\mathbb{Q}$, avec base $\{1, 3^{1/3},9^{1/3}\}$.

Le polynôme minimal de $\alpha$ est le polynôme minimal de la transformation linéaire $x \mapsto \alpha x$. Ce polynôme peut être calculé à l'aide de sa matrice par rapport à la base ci-dessus: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ Le polynôme caractéristique de cette matrice est $x^3 - 3 x^2 - 6 x - 4$. Ce polynôme est irréductible sur$\mathbb Q$ parce qu'il a un diplôme $3$ mais pas de racine rationnelle (*), de même que le polynôme minimal de $A$ et donc de $\alpha$. Par conséquent,$\alpha$ a un diplôme $3$ et donc $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(3^{1/3})$.

(*) utilise ici le théorème de la racine rationnelle.

Answer 2

Allusion:

$$(\alpha-1)^3=(3^{1/3}+3^{2/3})^3$$

$$\implies\alpha^3-3\alpha^2+3\alpha-1=3+3^2+3(3^{1/3}\cdot3^{2/3})(\alpha-1)$$

Alternativement,

$$\alpha=\dfrac{(3^{1/3})^3-1}{3^{1/3}-1}$$

$$\iff3^{1/3}=?$$

Maintenant, prenez le cube des deux côtés