Diagrammes de nœuds non alternés

Question

(J'ai posé cette question sur MSE il y a quelques jours sans résolution claire.)

Commencez par une courbe fermée et auto-sécante, où chaque croisement est transversal. Maintenant, formez quelque chose comme l'opposé d'un diagramme de nœuds alternés comme suit. Partant de n'importe où, traversez la courbe, et à chaque croisement non visité auparavant, passez au-dessus/au-dessus. Si le passage à niveau a déjà été visité, laissez la désignation de passage assignée.

Deux exemples sont présentés ci-dessous. (a) est clairement le dénouement. (b) est aussi le dénouement, peut-être pas aussi manifestement.

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^{Le cercle rouge indique le point de départ, la flèche le sens de déplacement.}

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Je m'attendais à ce que ces diagrammes représentent évidemment le dénouement, mais je ne vois pas de preuve claire. Alors:

Q. _ Prouver (ou réfuter) qu'un tel diagramme de nœuds représente toujours le dénouement.

Answer 1

Paramétrons la courbe plane par$\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$et assume$\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$. Alors votre courbe est le diagramme de nœud du nœud qui est paramétré par$K:[0,2]\to\mathbb R^3$donné par$$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$(essentiellement, imaginez suspendre votre nœud à un bâton, de sorte que la corde descende à une vitesse uniforme.) Ensuite, nous pouvons "dérouler" ce nœud. A savoir, depuis$\gamma$ne passe que par$(0,0)$aux extrémités, on peut écrire$\gamma(t)$en coordonnées polaires par$(r(t),\phi(t))$avec$r,\phi$continu sur$(0,1)$. On peut alors dénouer$K$par la suite de nœuds suivante$K_s$, qui commence par un nœud et se termine par$K$, écrit en coordonnées cylindriques :$$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$