Difficulté à comprendre la signification du paradoxe de Grelling.
Contexte : Je suis une recrue en mathématiques, mais je ne suis pas encore inscrite à l'université. J'ai commencé à lire au hasard Introduction to Mathematical Logic de Mendelson , quand je suis tombé sur ce paradoxe dans la section d'introduction :
Paradoxe de Grelling : Un adjectif est dit autologique si la propriété désignée par l'adjectif vaut pour l'adjectif lui-même. Un adjectif est dit hétérologique si la propriété désignée par l'adjectif ne s'applique pas à l'adjectif lui-même. Par exemple, « polysyllabique » et « anglais » sont autologiques, tandis que « monosyllabique » et « français » sont hétérologiques. Prenons l'adjectif « hétérologique ». Si « hétérologique » est hétérologique, alors ce n'est pas hétérologique. Si « hétérologique » n'est pas hétérologique, alors il est hétérologique. Dans les deux cas, l'hétérologique est à la fois hétérologique et non hétérologique.
J'aimerais comprendre ce qui suit :
- Quelle est la source de l'erreur logique dans ce paradoxe ? Si je formule un ensemble$A$de tous les adjectifs et sous-ensembles$A_a$et$A_h$correspondant respectivement aux adjectifs autologique et hétérologique, alors il se pourrait que$\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$, c'est-à-dire qu'il n'appartient à aucun des deux ensembles (sauf si$A_a\cap A_h=\emptyset$et$A_a\cup A_h=A$).
- Sur une note plus légère, j'aimerais connaître la signification mathématique de ce paradoxe et comment il est traité dans les théories modernes des ensembles.
Bien que je comprenne que la ou les réponses pourraient être très abstraites, veuillez ajouter une analogie plus simple avec une explication technique nécessaire, si possible.
Réponses
Si$A, A_a,$et$A_h$en fait "avoir du sens" - plus de détails ci-dessous - alors nous avons clairement cela$A_a$et$A_h$cloison$A$:$A_h$est défini comme étant$A\setminus A_a$. Donc ta proposition ne marche pas.
Le correctif est que$A_a$et$A_h$sont en fait plus complexes qu'il n'y paraît. Nous n'avons un paradoxe que si l'adjectif "hétérologique" est en$A$. Mais il s'avère que cela ne se produit pas : fondamentalement, pour définir l'hérétologie, nous devons utiliser un prédicat de vérité pour$A$et nous n'en avons pas un dans$A$lui- même .
Voici une façon de voir le paradoxe en action.
Laisser$\ulcorner\cdot\urcorner$soyez votre fonction de numérotation Godel préférée et laissez$Form$Soit l'ensemble de toutes les formules du premier ordre du langage arithmétique. Pour simplifier, écrivons "$\mathbb{N}$" pour la construction$(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$. Ensuite l'ensemble$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$la version de$A_h$pour les formules du premier ordre de l'arithmétique, ne peut lui-même être définissable par une formule du premier ordre de l'arithmétique : si$X$ont été définis par une formule$\theta$de l'arithmétique du premier ordre, c'est-à-dire si nous avions$$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$pour une formule$\theta$de l'arithmétique du premier ordre, on obtiendrait une contradiction en considérant si$\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$.
Plus généralement, nous pouvons généraliser le paramètre particulier ci-dessus à tout paramètre où nous avons une certaine logique$\mathcal{L}$, une certaine structure$\mathfrak{A}$, et un mécanisme de "codage" approprié de$\mathcal{L}$-formules en$\mathfrak{A}$. Obtenir les bons détails demande un peu de réflexion, mais le fait est que le paradoxe de Grelling illustre un phénomène fondamental "d'intensification" que nous ne pouvons pas éviter : l'ensemble de Grelling pour une logique/structure/système de codage particulier n'est pas définissable dans cette structure par une formule de cette logique.
(Noter que$X$peut en effet être défini dans des contextes plus larges : par exemple, il est définissable dans$\mathbb{N}$par une formule de logique du second ordre, et il est définissable par une formule du premier ordre dans l'univers des ensembles , dont$\mathbb{N}$forme un très petit morceau.)