Doute dans le calcul des probabilités.
X et Y sont deux joueurs d'échecs:
- La probabilité que X remporte un match particulier contre Y est $1/3$ et la probabilité que Y gagne la partie est $2/3$.
- Ils jouent une série de jeux dans lesquels les règles sont telles que X gagne deux matchs consécutifs puis X gagne la série et Y gagne la série c'est quand il gagne $4$ jeux consécutifs.
- Ils commencent le jeu et jouent jusqu'à ce que l'un d'eux remporte la série.
En suivant ces règles, quelle est la probabilité que Y gagne la série?.
J'ai calculé la probabilité en considérant $4/5/6$ nombre total de jeux individuellement, mais je n'ai trouvé aucun modèle pour que je puisse le résumer à $n$ nombre de jeux et tendance $n$ à l'infini$\ldots$ c'est mon approche de base dans de tels problèmes mais je ne peux pas faire ici$\ldots$
Réponses
Les états non terminaux sont $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$, où le nom $w$exprime les dernières victoires pertinentes. Pour chacun de ces états$w$ nous avons une probabilité $p_w$ cette $Y$remporte la série . Pour ces probabilités, nous avons les équations suivantes:$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ Par exemple, lorsque nous sommes en état $YY$, joueur $Y$remporte la série avec probabilité$p_{YY}$. Dans le prochain match$Y$ gagne avec probabilité ${2\over3}$ et nous sommes alors en état $YYY$, et $Y$ perd avec probabilité ${1\over3}$, et nous sommes alors en état $X$. De cette façon, nous obtenons l'équation$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.
La résolution de ce système donne la probabilité initiale $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$