Équation de Inviscid Burgers: dessiner le choc [dupliquer]

Dec 01 2020

Résoudre l'équation de Burgers $$ \left\{\begin{aligned} u_{t}+uu_x &=0 \quad \text { for } \quad t>0 \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \end{aligned}\right. $$ avec $u=u(x,t)$ et la condition latérale $u(x,0)=-x$.

Je suis conscient qu'une question similaire avec la condition initiale u = x a déjà été posée, et posée parce que je me demandais quelle serait la différence lorsque les lignes caractéristiques devraient converger.

Réponses

3 NinadMunshi Dec 01 2020 at 12:24

Du théorème de fonction implicite, nous avons ce qui suit

$$u_t+uu_x = 0 \implies \frac{dx}{dt}=u$$

Donc en d'autres termes, les pentes des caractéristiques dépendent de la valeur de $u$. Avec$u=x$, vous pouvez voir que les caractéristiques qui commencent à négatif $x$ se déplacer à gauche (pente négative) et vice versa pour positif $x$. Pourriez-vous raisonner le comportement pour$u=-x$ au lieu?

Question bonus, techniquement, le choc dans les deux situations pourrait être choisi comme n'importe quoi, mais comment choisir la solution d'entropie maximale pour les deux $u=x$ et $u=-x$ ?