Équation de Inviscid Burgers: dessiner le choc [dupliquer]
Résoudre l'équation de Burgers $$ \left\{\begin{aligned} u_{t}+uu_x &=0 \quad \text { for } \quad t>0 \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \end{aligned}\right. $$ avec $u=u(x,t)$ et la condition latérale $u(x,0)=-x$.
Je suis conscient qu'une question similaire avec la condition initiale u = x a déjà été posée, et posée parce que je me demandais quelle serait la différence lorsque les lignes caractéristiques devraient converger.
Réponses
Du théorème de fonction implicite, nous avons ce qui suit
$$u_t+uu_x = 0 \implies \frac{dx}{dt}=u$$
Donc en d'autres termes, les pentes des caractéristiques dépendent de la valeur de $u$. Avec$u=x$, vous pouvez voir que les caractéristiques qui commencent à négatif $x$ se déplacer à gauche (pente négative) et vice versa pour positif $x$. Pourriez-vous raisonner le comportement pour$u=-x$ au lieu?
Question bonus, techniquement, le choc dans les deux situations pourrait être choisi comme n'importe quoi, mais comment choisir la solution d'entropie maximale pour les deux $u=x$ et $u=-x$ ?