équation fonctionnelle: $f(f(x))=6x-f(x)$ [dupliquer]

Question

Prouver qu'il existe une fonction unique $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ $$f(f(x))=6x-f(x)$$

Mon essai

Définir $a_{k+1}=f(a_k)$ alors nous avons la relation récursive $$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$$ dont l'équation caractéristique est $$x^{k+2}+x^{k+1}-6x^k=0$$ $$x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3 ,x=2$$ c'est à dire $$a_k=c_1 {(-3)}^k+c_2{(2)}^k$$ .Comme $x>0 \Rightarrow a_0>0\Rightarrow 2c_2>3c_1$

je suis coincé maintenant car je n'ai pas pu trouver $c_1,c_2$

Answer 1

Après le travail d'OP: Pour$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$, prends $a_k=t^k$ obtenir $t_{1,2}=2,-3$. Choisissez uniquement la racine positive à écrire$a_k=C 2^k \implies a_0=C=x$ (par hypothèse), ensuite $a_1=C. 2=2x$. Par hypothèse$f(x)=a_1.$ Alors vous obtenez $f(x)=2x.$

Remarque: ici $$a_0=x, a_1=f(x),a_2=ff(x), a_3=fff(x),....,a_k=f^{k}(x).$$