Est $(4+\sqrt{5})$ un idéal primordial de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Question

Considérez le domaine intégral $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$. Est$(4+\sqrt{5})$ un idéal primordial de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Je ne connais pas la réponse, donc toute aide est la bienvenue.

Notez que $4+\sqrt{5}$ est un élément irréductible de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, depuis sa norme $N(4+\sqrt{5})=11$ est un nombre premier (ici comme d'habitude $N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2$ pour chaque $a, b \in \mathbb{Z}$). De toute façon$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ n'est pas un domaine de factorisation unique, car il peut être facilement vu à partir des factorisations suivantes $4=2 \cdot 2 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$. La question n'est donc pas si triviale, du moins pour moi!

Answer 1

Notez que $11=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})\in\langle 4+\sqrt{5}\rangle$, et ainsi nous avons la chaîne des isomorphismes $$\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5}\rangle}=\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5},11\rangle}\cong\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle t^2-5,4+t,11\rangle}.$$ Également, $t^2-5=11-(4-t)(4+t)$, d'où $\langle t^2-5,4+t,11\rangle=\langle 4+t,11\rangle$, et donc l'anneau ci-dessus $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\big/\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ est en fait isomorphe à $$\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle 4+t,11\rangle}\cong\frac{(\mathbb{Z}\big/11)[t]}{\langle \bar{4}+t\rangle}.$$ Maintenant, $\mathbb{Z}\big/11$ est un champ, donc $(\mathbb{Z}/11)[t]$ est un domaine idéal principal, et clairement $\bar{4}+t$ est irréductible - donc premier - en $(\mathbb{Z}/11)[t]$. Cela signifie que l'anneau ci-dessus est un domaine, et donc$\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ est en effet un idéal primordial de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.