Est-ce qu'il vient de $1$ à $\sqrt[4]{2}$ en utilisant $\sqrt{\alpha^2+ 1}$

Question

Le but est d'obtenir de $1$ à $\sqrt[4]{2}$ ou prouvez qu'il est impossible en utilisant une seule des options suivantes:

1. Ajoutez ou soustrayez deux nombres précédemment construits.
2. Multipliez deux nombres précédemment construits.
3. Utiliser un nombre précédemment construit $\alpha$ construire les deux solutions pour $\alpha^2+1=\beta^2$. J'ai réussi à construire de nombreux nombres proches, tels que$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$.
   Je suis presque sûr que c'est impossible mais je n'ai pas réussi à le prouver.
   L'un de vous peut-il m'aider?
   Edit 1: réciproques
   Nous pouvons construire tous les radicaux quadratiques et les nombres rationnels.
   Dans ce cas, nous recherchons une extension de$\mathbb Q$ qui est fermé sous (3), Les nombres constructibles sont fermés sous cette opération, mais je pense qu'il y a un sous-champ des nombres constructibles fermé en dessous et contenant $\mathbb Q$ comme sous-champ.

Answer 1

Très bien, vous devriez vérifier à nouveau votre calcul. Si vous avez vraiment construit$2^{1/4}$ tu pourrais immédiatement construire $\sqrt{1 + \sqrt 2}.$ Ce n'est pas possible: le moyen le plus rapide de le dire est que le champ de Hilbert est l'ensemble des éléments totalement réels dans le champ constructible (fermé sous les racines carrées des éléments positifs).

Il s'agit des pages 145-148 de Geometry: Euclid and Beyond de Robin Hartshorne.

J'ai répété le premier exemple de recherche à https://doc.sagemath.org/html/en/reference/number_fields/sage/rings/number_field/totallyreal_rel.html

et obtenu

jagy@phobeusjunior:~$ sage
┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ SageMath Version 6.9, Release Date: 2015-10-10                     │
│ Type "notebook()" for the browser-based notebook interface.        │
│ Type "help()" for help.                                            │
└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
sage:  ZZx = ZZ['x']
sage:  F.<t> = NumberField(x^2-2)
sage: enumerate_totallyreal_fields_rel(F, 2, 10000)
[[1600, x^4 - 6*x^2 + 4, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 3],
 [2048, x^4 - 4*x^2 + 2, xF^2 + t - 2],
 [2304, x^4 - 4*x^2 + 1, xF^2 + t*xF - 1],
 [2624, x^4 - 2*x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 1],
 [4352, x^4 - 6*x^2 - 4*x + 2, xF^2 + t*xF + t - 2],
 [7168, x^4 - 6*x^2 + 7, xF^2 + t - 3],
 [7232, x^4 - 2*x^3 - 5*x^2 + 4*x + 4, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 2],
 [8768, x^4 - 2*x^3 - 5*x^2 + 6*x + 7, xF^2 + xF + t - 3],
 [9792, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 2*x + 7, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 3]]



sage: enumerate_totallyreal_fields_rel(F, 2, 100000)
[[1600, x^4 - 6*x^2 + 4, xF^2 + xF - 1],
 [2048, x^4 - 4*x^2 + 2, xF^2 + t - 10],
 [2304, x^4 - 4*x^2 + 1, xF^2 + t*xF - 1],
 [2624, x^4 - 2*x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 1],
 [4352, x^4 - 6*x^2 - 4*x + 2, xF^2 + t*xF + t - 14],
 [7168, x^4 - 6*x^2 + 7, xF^2 + t - 3],
 [7232, x^4 - 2*x^3 - 5*x^2 + 4*x + 4, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 2],
 [8768, x^4 - 2*x^3 - 5*x^2 + 6*x + 7, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 5],
 [9792, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 2*x + 7, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 3],
 [10304, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 8*x + 8, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 4],
 [10816, x^4 - 2*x^3 - 9*x^2 + 10*x - 1, xF^2 + (t + 1)*xF + 7*t - 9],
 [12544, x^4 - 8*x^2 + 9, xF^2 + t*xF - 3],
 [13888, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 6*x + 9, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 3],
 [14336, x^4 - 8*x^2 + 14, xF^2 + t - 4],
 [16448, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 8*x + 14, xF^2 + (t + 1)*xF + 6*t - 8],
 [18432, x^4 - 12*x^2 + 18, xF^2 + 3*t - 6],
 [18496, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 12*x + 2, xF^2 + xF - 4],
 [18688, x^4 - 10*x^2 - 4*x + 14, xF^2 + t*xF + t - 4],
 [20032, x^4 - 2*x^3 - 9*x^2 + 10*x + 17, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 7],
 [21056, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 2*x + 17, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 5],
 [21568, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 12*x + 18, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 6],
 [22592, x^4 - 2*x^3 - 9*x^2 + 8*x + 16, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 4],
 [22784, x^4 - 12*x^2 - 8*x + 17, xF^2 + t*xF + 2*t - 5],
 [23552, x^4 - 10*x^2 + 23, xF^2 + t - 5],
 [24832, x^4 - 14*x^2 - 12*x + 18, xF^2 + t*xF + 3*t - 6],
 [26176, x^4 - 2*x^3 - 9*x^2 + 10*x + 23, xF^2 + (t + 1)*xF + 8*t - 11],
 [28224, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 14*x + 7, xF^2 + xF - 5],
 [29248, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 6*x + 23, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 5],
 [30976, x^4 - 12*x^2 + 25, xF^2 + t*xF - 5],
 [31744, x^4 - 14*x^2 + 31, xF^2 + 3*t - 7],
 [31808, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 12*x + 28, xF^2 + (t + 1)*xF + 7*t - 10],
 [33344, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 10*x + 25, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 5],
 [34816, x^4 - 12*x^2 + 34, xF^2 + t - 6],
 [35392, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 14*x + 31, xF^2 + (t + 1)*xF + 6*t - 9],
 [36416, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 2*x + 31, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 7],
 [36928, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 16*x + 32, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 8],
 [37952, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 12*x + 34, xF^2 + xF + t - 6],
 [41216, x^4 - 14*x^2 - 4*x + 34, xF^2 + t*xF + t - 6],
 [42048, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 8*x + 34, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 6],
 [45632, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 14*x + 41, xF^2 + xF + 2*t - 7],
 [46144, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 12*x + 36, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 6],
 [47104, x^4 - 16*x^2 + 46, xF^2 + 3*t - 8],
 [48128, x^4 - 14*x^2 + 47, xF^2 + t - 7],
 [48704, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 6*x + 41, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 7],
 [49408, x^4 - 16*x^2 - 8*x + 41, xF^2 + t*xF + 2*t - 7],
 [51200, x^4 - 20*x^2 + 50, xF^2 + 5*t - 10],
 [51264, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 16*x + 46, xF^2 + (t + 1)*xF + 8*t - 12],
 [51776, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 14*x + 47, xF^2 + xF + t - 7],
 [53312, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 4*x + 46, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 8],
 [53824, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 23, xF^2 + xF - 7],
 [54848, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 49, xF^2 + (t + 1)*xF + 7*t - 11],
 [55552, x^4 - 18*x^2 - 12*x + 46, xF^2 + t*xF + 3*t - 8],
 [55872, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 2*x + 49, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 9],
 [56384, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 50, xF^2 + (t + 1)*xF + 6*t - 10],
 [56896, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 10*x + 47, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 7],
 [57600, x^4 - 16*x^2 + 49, xF^2 + t*xF - 7],
 [59648, x^4 - 20*x^2 - 16*x + 49, xF^2 + t*xF + 4*t - 9],
 [60992, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 14*x + 49, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 7],
 [61696, x^4 - 22*x^2 - 20*x + 50, xF^2 + t*xF + 5*t - 10],
 [63488, x^4 - 16*x^2 + 62, xF^2 + t - 8],
 [64512, x^4 - 18*x^2 + 63, xF^2 + 3*t - 9],
 [65600, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 8*x + 56, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 8],
 [67648, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 16*x + 62, xF^2 + xF + t - 8],
 [69184, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 63, xF^2 + xF + 3*t - 9],
 [69696, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 34, xF^2 + xF - 8],
 [71936, x^4 - 18*x^2 - 4*x + 62, xF^2 + t*xF + t - 8],
 [72256, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 6*x + 63, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 9],
 [72704, x^4 - 22*x^2 + 71, xF^2 + 5*t - 11],
 [73792, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 12*x + 62, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 8],
 [74816, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 68, xF^2 + xF + 4*t - 10],
 [76864, x^4 - 2*x^3 - 21*x^2 + 4*x + 68, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 10],
 [77888, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 16*x + 64, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 8],
 [79424, x^4 - 2*x^3 - 23*x^2 + 2*x + 71, xF^2 + (t + 1)*xF + 6*t - 11],
 [79424, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 73, xF^2 + xF + 2*t - 9],
 [79936, x^4 - 2*x^3 - 23*x^2 + 24*x + 72, xF^2 + (t + 1)*xF + 7*t - 12],
 [80896, x^4 - 18*x^2 + 79, xF^2 + t - 9],
 [83968, x^4 - 20*x^2 + 82, xF^2 + 3*t - 10],
 [84224, x^4 - 20*x^2 - 8*x + 73, xF^2 + t*xF + 2*t - 9],
 [84544, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 10*x + 73, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 9],
 [85568, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 79, xF^2 + xF + t - 9],
 [87616, x^4 - 2*x^3 - 21*x^2 + 22*x + 47, xF^2 + xF - 9],
 [89152, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 82, xF^2 + xF + 3*t - 10],
 [92416, x^4 - 20*x^2 + 81, xF^2 + t*xF - 9],
 [92736, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 14*x + 79, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 9],
 [93248, x^4 - 2*x^3 - 21*x^2 + 8*x + 82, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 10],
 [94464, x^4 - 22*x^2 - 12*x + 82, xF^2 + t*xF + 3*t - 10],
 [96256, x^4 - 24*x^2 + 94, xF^2 + 5*t - 12],
 [96832, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 18*x + 81, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 9],
 [96832, x^4 - 2*x^3 - 21*x^2 + 22*x + 89, xF^2 + xF + 4*t - 11],
 [99392, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 92, xF^2 + xF + 2*t - 10],
 [99904, x^4 - 2*x^3 - 23*x^2 + 6*x + 89, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 11]]
sage: