Est-ce qu'une fonction qui s'exprime sous la forme d'une série de taylor différentiable et/ou continue dans le domaine de convergence

Question

Supposons que f(x) est une fonction infiniment différentiable au voisinage de$0$, et que le rayon de convergence de sa série de taylor autour de$0$,$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, vaut 8.

Cela signifie-t-il que$f(x)$est continue et/ou différentiable à$(-8,8)?$et pourquoi?

Answer 1

Non. Par exemple, je peux prendre n'importe quelle série de puissance$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$avec rayon de convergence$8$, puis définir

$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$

Le développement de Taylor de cette fonction autour de$0$est juste la série de puissance donnée, mais elle ne correspond qu'à la série de puissance dans l'intervalle$(-1,1)$, même si la série entière a un plus grand rayon de convergence. Mais si$f$est en fait d'accord avec sa série Taylor sur$(-8,8)$, c'est-à-dire qu'il est analytique, alors oui, il sera différentiable (même infiniment souvent) sur tout l'intervalle. Mais l'analyticité est une condition très forte, donc vous ne pouvez pas toujours l'assumer.

Answer 2

Relation entre donnée$f$fonction et sa série de Taylor peuvent être délicates. C'est le fameux exemple$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$qui est infiniment différentiable avec$f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$. La série Taylor$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$converge vers tout$\mathbb{R}$, c'est-à-dire que son rayon de convergence est$R=\infty$mais ne coïncide avec la fonction qu'à l'origine. Maintenant, nous pouvons prendre une fonction$g$qui est égal$f$seulement à l'origine un certain voisinage, mais peut être n'importe quel type à l'extérieur, par exemple non continu.

Il est donc utile d'avoir une condition nécessaire et suffisante pour une donnée$\boldsymbol{f}$ fonction représentable par sa série de Taylor sur l'intervalle de convergence$(-R,R)$, où$R$est le rayon de convergence. L'un suit :

Reste de Taylor sous forme Maclaurin$R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$sur un intervalle donné tend à$0$, où$p>0$,$\xi$entre$x$et$a$.