Est-ce que Aut (G) → Out (G) se sépare toujours pour un groupe de Lie G compact et connecté?
Le groupe d'automorphisme externe d'un groupe topologique $G$ est construit par la courte séquence exacte $$ 1\longrightarrow \operatorname{Inn}(G) \longrightarrow \operatorname{Aut}(G) \longrightarrow \operatorname{Out}(G) \longrightarrow 1. $$Cette séquence n'est pas toujours fractionnée, voir Aut non fractionné (G)$\to$Sortie (G)? , par exemple pour le groupe discret$G = A_6$.
Je suis intéressé par le cas où $G$est un groupe de Lie compact et connecté. La séquence se divise-t-elle toujours dans ce cas? (Si$G$ a une algèbre de Lie simple $\mathfrak{g}$alors je crois que la réponse est oui .)
Réponses
Oui, $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G)$se divise toujours. La preuve est comme dans ma réponse à votre question Classification des groupes de Lie compacts (pas nécessairement liés) : regard$\operatorname{Aut}(G)$ comme une extension de $\operatorname{Inn}(G) = G/\operatorname Z(G)$ par un groupe discret $\operatorname{Out}(G)$et soulevez $\operatorname{Out}(G)$ à $\operatorname{Aut}(G)$comme les automorphismes qui préservent un épinglage au sens de cette réponse . (Ceux-ci sont souvent appelés "automorphismes de diagramme".) Dans cette autre question, nous n'avons pas obtenu une section honnête du groupe de composants à l'intérieur du groupe de Lie parce que vous ne supposiez pas que le composant d'identité était sans centre, mais puisque le groupe adjoint$\operatorname{Inn}(G)$ est sans centre, tout va bien ici.