Est-ce que chaque élément de $\mathbb{R}$ un membre de $\mathbb{Q}$ joint à un nombre fini de membres de sa base de transcendance?

Dec 25 2020

Récemment, je me suis intéressé à la création de solutions quelque peu non constructives aux problèmes en utilisant le concept d'une base de transcendance de$\mathbb{R}$ plus de $\mathbb{Q}$, qui existe en supposant l'axiome du choix mais je ne connais que quelques théories de base des champs. Dans le cadre de ma compréhension croissante, je demande:

Laisser $W$ être la base de transcendance pour $\mathbb{R}$ plus de $\mathbb{Q}$. Est-il vrai que$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? Et si nous remplaçions «fini» par «dénombrable»?

Réponses

5 AndreasCaranti Dec 25 2020 at 04:56

Il me manque peut-être quelque chose, mais, citant par exemple ce post MSE :

un ensemble $T$ d'éléments d'un champ d'extension $k/F$est une base de transcendance si

  1. pour tous $n$, et distinct $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$, il n'y a pas de polynôme non nul $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ tel que $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
  2. $k$ est algébrique sur $F(T)$.

Donc un élément comme $\sqrt{2}$ ne sera dans aucun de vos $\mathbb{Q}(w)$.

1 EthanBolker Dec 25 2020 at 04:44

Modifier . Cette réponse est incorrecte. J'ai lu «base de transcendance» comme «base d'espace vectoriel». Je pense que la réponse de @AndreasCaranti est correcte. Je vais laisser le mien pour que personne d'autre ne fasse la même erreur.


Oui, puisque chaque élément de $\mathbb{R}$ est un fini $\mathbb{Q}$-Combinaison linéaire d'éléments de base. Cela signifie que c'est dans l'union des extensions correspondantes.