Est-ce que je fais correctement les formules de Vieta?

Dec 06 2020

On m'a donné cet exercice: $x^2 - (m+3)x + m + 2$, Je suis censé vérifier quelles valeurs réelles du paramètre $m$ peut être utilisé pour que cela fonctionne:

$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (Je multiplie les deux côtés par 2x1x2) et j'obtiens ce qui suit:

$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$

ce qui aboutit à $m > -4$ en utilisant les formules de Vieta

Ensuite, j'ai un autre argument, $x_1^2 + x_2^2 < 5$

Après avoir résolu, j'ai compris $m$ est dans l'intervalle $(-4,0)$

Mon livre me dit le résultat final pour possible $M$ les solutions sont dans l'intervalle $(-2,0)$.

Qu'est-ce que je fais mal?

Réponses

2 LukeCollins Dec 06 2020 at 07:24

Vous ne pouvez pas multiplier par $x_1x_2$ puisque vous ne savez pas s'il s'agit d'une quantité positive ou négative (rappelez-vous que le signe de l'inégalité devrait être inversé s'il était négatif, et rester le même sinon).

Rappelez-vous ce que les formules de Viete vous disent, que $x_1+x_2 = m+3$ et cela $x_1x_2 = m+2$. Vous pouvez les utiliser si vous simplifiez le côté gauche:$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ donc vous voulez vous assurer que $m$ est telle que $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ On ne peut pas se multiplier par $m+2$puisque nous ne connaissons pas son signe. Nous pouvons multiplier par$(m+2)^2$, c'est sûrement non négatif. Cela nous donne$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ qui simplifie à $$(m+2)(m+4)>0.$$ Un produit de deux nombres est $>0$ soit s'ils sont tous les deux $>0$, ou s'ils sont tous les deux $<0$.

Dans le premier cas (quand $m+2$ et $m+4$ sont tous les deux positifs), nous avons $m>-2$ et $m>-4$, ce qui équivaut simplement à dire $m>-2$.

Dans le second cas (lorsqu'ils sont tous les deux négatifs), on a $m<-2$ et $m<-4$, ce qui revient à dire que $m<-4$.

Donc en résumé, votre condition équivaut à dire que $$\boxed{\text{$m <-4$ or $m> -2$}}.$$

2 NeatMath Dec 06 2020 at 08:02

Dans les inégalités, c'est généralement une bonne idée de combiner les fractions si vous n'êtes pas sûr de leurs signes. Pour des exemples, voir ici et ici .

Maintenant $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ Et $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$

Par conséquent $-2<m<0$.