Est-ce que «productif = dimension $\omega$”Pour les structures calculables?
Par analogie avec la terminologie des ensembles , disons qu'une structure ( langage dénombrable, calculable)$\mathfrak{A}$est productif s'il existe un moyen calculable d'étendre correctement toute liste calculable de types d'isomorphisme calculable de copies calculables de$\mathfrak{A}$. C'est,$\mathfrak{A}$ est productive ssi il existe une fonction calculable partielle $F$ tel que pour tous $a,b$:
Si $W_a=\overline{W_b}$, et chaque élément de $W_a$ est un index pour une copie calculable de $\mathfrak{A}$, puis $F(a,b)$ est défini et est un index pour une copie calculable de $\mathfrak{A}$ pas isomorphe de manière calculable à l'une des copies avec des indices dans $W_a$.
(Le "$W_a=\overline{W_b}$"-bit dit juste que $W_a$ est en fait un ensemble de noms calculables, pas seulement ce, pour les copies de $\mathfrak{A}$, et nous donnons cet ensemble à $F$ comme un ensemble calculable plutôt qu'un ensemble ce.)
Rappelons que la dimension calculable d'une structure est le nombre de copies calculables qu'elle possède jusqu'à l'isomorphisme. De toute évidence, toute structure productive doit avoir une copie calculable (prendre$W_a=\emptyset$) et doit avoir une dimension calculable $\omega$ (répéter $F$de manière appropriée). Cependant, l'inverse n'est pas clair pour moi. Ma question est:
Est-ce que chaque structure calculable avec une dimension calculable $\omega$ productif?
Tous les exemples «naturels» auxquels je peux penser sont facilement considérés comme productifs, mais je ne vois aucun principe généralement applicable à l'œuvre ici. Il y a divers résultats dans la littérature de "saveur" similaire comme le travail de Montalban sur les jeux de copie / diagonalisation, mais aucun à ma connaissance ne semble directement applicable.
Je soupçonne que la réponse à cette question est "fragile" en ce sens qu'il existe une structure calculable avec une dimension calculable infinie qui n'est pas productive, mais que chaque structure est soit catégoriquement calculable sur un cône, soit "productive sur un cône" dans le sens approprié; ceci est motivé par (la perversité générale et) la combinaison du théorème de Gontcharov selon lequel il existe des structures calculables de dimension calculable strictement entre$1$ et $\omega$, et le théorème de McCoy selon lequel chaque structure est soit catégoriquement calculable sur un cône, soit a une dimension calculable $\omega$ sur un cône.
Réponses
La réponse à votre première réponse est non.
Ma réponse est basée sur une de mes constructions , mais il existe peut-être une approche plus simple. En cela, vous prenez un arbre calculable dans$\omega^{<\omega}$ et obtenez un $\Delta^0_3$transformation de l'arbre et une structure catégorielle calculable de telle sorte que les automorphismes non triviaux de la structure sont essentiellement des chemins à travers l'arbre transformé. Si votre arbre de départ n'a pas$\Delta^0_3$chemins, et vous marquez ensuite un élément particulier de la structure avec une constante, les copies de l'isomorphisme modulo calculable de la structure étendue correspondent à des sous-ensembles finis de nœuds extensibles de hauteur 1 dans l'arbre. Si vous aviez une fonction productive telle que vous la décrivez, elle vous permettrait d'énumérer un ensemble infini de nœuds extensibles (dans l'arbre transformé, à partir duquel vous pourriez revenir à l'arbre d'origine via un$\Delta^0_3$carte). Donc si vous commencez avec un arbre avec une infinité de nœuds extensibles de hauteur 1, mais non$\Delta^0_3$ ensemble d'entre eux, il aurait une dimension $\omega$ mais ne soyez pas productif.
Je partage votre intuition que ce comportement devrait disparaître sur un cône.