Est-il possible de classer des sous-espaces non fermés de l'espace de Hilbert?

Question

Laisser $H$ être l'espace de Hilbert.

Motivé par ma question précédente sur les fonctionnelles linéaires follement discontinues , qui peuvent être interprétées comme une tentative de classer les hyperplans denses en$H$, laissez-moi maintenant aller droit au but:

Des questions .

1. Y a-t-il des différences significatives entre les hyperplans denses $H$?

2. Si $L$ et $M$ sont deux hyperplans denses dans $H$, y a-t-il une cartographie d'opérateur unitaire $L$ à $M$?

3. En supposant que la réponse à (2) est négative, combien d'orbites y a-t-il pour l'action naturelle du groupe unitaire $\mathscr U(H)$ sur le plateau des hyperplans denses?

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Parlant de sous-espaces généraux (pas nécessairement fermés ou denses) de $H$, il y a quelques choses que l'on peut dire à ce sujet.

Par exemple, tous ces espaces ne peuvent pas être décrits comme la plage d'un opérateur borné et, en particulier, aucun hyperplan dense ne se qualifie. En effet, si la plage d'un tel opérateur a une co-dimension finie, elle doit être fermée (cela découle facilement du théorème des graphes fermés).

La plage d'un opérateur compact ne contient aucun sous-espace fermé de dimension infinie, c'est donc une autre propriété que l'on pourrait utiliser pour classer les sous-espaces.

Plus de questions .

1. Existe-t-il une condition nécessaire et suffisante, exprimée en termes topologiques / analytiques, caractérisant la plage d'un opérateur borné (resp. Compact) parmi tous les sous-espaces de $H$?

2. Combien de classes d'équivalence unitaire de sous-espaces non fermés de $H$sont là? Combien de ceux-ci peuvent être décrits en termes topologiques / analytiques?

Answer 1

Je suppose que j'ai une réponse simple à la question 4, dans le cas compact: un sous-espace dimensionnel infini $E\subseteq H$ est la plage d'un opérateur compact ssi il existe un ensemble orthogonal (par opposition à orthonormal) $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, tel que $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ et $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Cela découle facilement du théorème spectral pour les opérateurs compacts et du fait que la portée d'un opérateur compact $T$ coïncide avec la plage de $|T|$.