Est-il possible de définir une bijection de nombres non négatifs à positifs? [dupliquer]

Question

Laisser $\mathbb{R}_{\geq 0}$ être l'ensemble des nombres non négatifs et $\mathbb{R}_{>0}$ l'ensemble des nombres positifs, c'est-à-dire

$$ \mathbb{R}_{\geq 0} = \{\,x \geq 0 \mid x \in \mathbb{R} \,\} $$

et

$$ \mathbb{R}_{> 0} = \{\,x > 0 \mid x \in \mathbb{R} \,\} $$

Est-il possible de définir une bijection $f$ entre ces deux ensembles?

Answer 1

Oui bien sûr. Mappez d'abord chaque nombre qui n'est pas un entier non négatif à lui-même. Ensuite, mappez chaque entier non négatif n à n + 1.

Answer 2

Vous pouvez également prendre chaque $[n,n+1)$ intervalle et mappez-le dans $(n,n+1]$ en le reflétant.

L'idée ici étant la cartographie $[0,\infty)$ dans $(0,\infty]$ via $\frac{1}{x}$, mais nous ne pouvons le faire que si l'extrême droite du deuxième intervalle est incluse. Heureusement, nous pouvons couvrir$\mathbb{R}$ avec des intervalles d'une telle forme.

Answer 3

Bien sûr. Soit f de l'ensemble avec 0 à l'ensemble sans 0:

f (x) = x lorsque x n'est pas un entier;

f (0) = 1

f (1) = 2

f (2) = 3

etc.

Answer 4

Ils ont la même cardinalité, donc une bijection existe. Vous avez mentionné dans un commentaire que vous êtes également intéressé par une fonction qui n'a pas de points fixes. Vous pouvez adapter la réponse de roddick en mélangeant simplement les intervalles. Par exemple, vous pouvez envoyer$[0,1)$ à $(10,11]$, $[1,2)$ à $(11,12]$, $[2,3)$ à $(0,1]$, etc.