Est-il possible de différencier $\sin x$ par rapport à $\cos x$ des premiers principes?

Question

Je faisais un problème de pratique aujourd'hui pour un test d'admission à l'université, où il m'a demandé de différencier $\sin x$ par rapport à $\cos x$. La solution que j'ai trouvée utilisait la règle de la chaîne:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Cependant, plus je pensais à ce problème, plus cela me mettait un peu mal à l'aise. Je ne comprends pas vraiment ce que signifie différencier une fonction par rapport à une autre fonction, si cela est même possible. Alors j'ai essayé de différencier$\sin x$ par rapport à $\cos x$ des premiers principes, juste pour que je sache avec quoi je travaillais:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

L'idée derrière cela était de traiter $\cos x$tout comme je le ferais pour toute autre variable. Cependant, cela m'a donné la réponse incorrecte de$(\cos \circ \cos)(x)$, et je ne peux pas comprendre pourquoi. Existe-t-il une manière intuitive de penser à ce que signifie différencier une fonction par rapport à une autre fonction?

Answer 1

Vous souhaitez mesurer un changement de $\sin{x}$ par rapport à un changement de $\cos{x}$. Alors tu veux$\sin{x}$ en tant que fonction de $\cos{x}$, ce qui n'est pas la même chose que $\sin(\cos{x})$. Voilà votre problème fondamental.

Ce que vous voulez: si $x \in [0, \pi]$, puis $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, et donc \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} comme voulu.

Exercice: que se passe-t-il quand $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Ensemble $y=\cos x$, Puis pour $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Quant à la limite, vous devriez écrire $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$