Étant donné le polynôme caractéristique (et minimal) de $T:V\to V$, combien de formes Jordan distinctes sont possibles?

Question

Je résolvais des problèmes de routine sur la détermination des formes de Jordan possibles d'un opérateur linéaire, étant donné les polynômes caractéristiques et minimaux, et une pensée intéressante m'est venue à l'esprit! Tous les passionnés de combinatoire devraient y jeter un coup d'œil.

Existe-t-il un moyen de commenter le nombre de formes de Jordan, étant donné le polynôme caractéristique de $T:V\to V$?

Disons $$p_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$$

est le polynôme caractéristique de $T:V\to V$. Existe-t-il une solution de forme fermée pour décrire le nombre de formes de Jordan correspondant à ce polynôme? Deux formes Jordan sont considérées comme identiques si elles consistent en les mêmes blocs Jordan (n'importe quelle permutation) .

Et si on me donne également le polynôme minimal de$T$, à savoir $m_T(t)?$ $$m_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$$ où $1\leq m_i\leq n_i$ pour tous $i=1,2,...,k$

La réponse se réduit définitivement puisque nous avons imposé plus de contraintes mais de combien? Quel est le nombre exactement?

Je pense que les idées suivantes seront très importantes pour déterminer la réponse, même si je n'ai pas été en mesure de trouver quelque chose de concret en les utilisant:

• La somme des tailles de tous les blocs Jordan correspondant à $\lambda$ est égal à la multiplicité de $\lambda$ dans $p_T(t)$.
• La taille du plus grand bloc jordanien correspondant à $\lambda$ est égal à la multiplicité de $\lambda$ dans $m_T(t)$.

Merci et j'attends avec impatience une discussion intéressante!

Answer 1

Il n'y a pas vraiment grand chose à dire de plus que ce que vous avez observé à la fin. Un multiset d'entiers positifs dont la somme est$n$s'appelle une partition de$n$, et le nombre de ces partitions est généralement écrit $p(n)$. Donc, une forme normale de Jordan avec un polynôme caractéristique$\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$ consiste simplement en une partition de $n_i$ pour chaque $i$, donc le nombre d'entre eux est $$\prod_{i=1}^kp(n_i).$$ Cependant, il n'existe pas de formulaire fermé connu pour $p(n)$ (et dans le cas $k=1$, votre problème équivaut à trouver un formulaire fermé pour $p(n)$).

De même, le nombre de partitions de $n$ en parties telles que la plus grande partie soit $m$ peut être écrit comme $p_m(n)$, donc si vous avez en outre besoin que le polynôme minimal soit $\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$ alors le nombre de ces formes normales de Jordanie est $$\prod_{i=1}^kp_{m_i}(n_i).$$ Encore une fois, cependant, il n'y a pas de forme fermée connue pour $p_m(n)$.