Évaluer la limite $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Question

Comment évaluez-vous cette limite de séquence en utilisant le théorème de compression / sandwich? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

Je ne sais pas vraiment par où commencer. J'ai essayé d'utiliser le fait que$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (qui est la bonne réponse) mais je ne sais pas où aller à partir de là.

Merci!

Answer 1

Nous avons ça

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

puis conclure par le théorème de compression.

Answer 2

Vous pouvez utiliser $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

Answer 3

Avec logarithme: réécrivez l'expression comme $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ Le premier terme est $3$. Le second a des limites faciles:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ et donc, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

Answer 4

Une manière légèrement différente prend $3^n$ hors de $(3^n+1)^{1/n}$, C'est $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ Notez maintenant que $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ pour chaque $n\in \mathbb N $, prenant donc des limites dans l'inégalité à laquelle on arrive $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ et donc $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

Answer 5

Considérer $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ affectent maintenant le logarithme des deux côtés:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ évidemment si $n$ va à l'infini on peut omettre 1 à l'intérieur du logarithme puis on obtient facilement: $\ln{y} = \ln 3$ quand $n$va à l'infini. donc la réponse est:$$y = 3$$

Answer 6

Où $n$ est suffisamment grand $3^n$ est bien plus grand que $1$, ce qui peut être négligé (on peut remarquer que $100000000000000000000$ et $100000000000000000001$ sont «presque» les mêmes).

Alors $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ du fait que $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ rapidement et le reste peut être fait facilement.

Answer 7

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$